Questão 1: Calcule os valores extremos da função f(x, y)=4 x^{2}+y^{2} sobre a ellipse x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar os valores extremos da função
f(x,y)=4x^{2}+y^{2}
sujeita à restrição que define uma elipse:
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1.
O tema aqui é otimização com restrição de contorno, que pode ser feita por Lagrange ou por parametrização da elipse.

Passo 2

Uma forma bem direta é parametrizar a elipse. Tomamos
x=\cos t,\quad y=2\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Substituindo em f, vem
f(\cos t,2\sin t) =4\cos^{2}t+(2\sin t)^{2} =4\cos^{2}t+4\sin^{2}t =4\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr) =4.

Passo 3

Como a expressão de f após a parametrização é constante igual a 4 para todo t, concluímos que não há variação de valor ao longo da elipse.

Resposta

O valor mínimo de f sobre a elipse é 4 e o valor máximo de f sobre a elipse também é 4.

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