( 2.0 ponto dot s )
Seja
f(x, y)=x y^2+y cos x-4 sen y
Calcule partial fpartial x(0,0), partial fpartial y(0,0), partial^2 fpartial x partial y(0,0), partial^2 fpartial^2 y(0,0) e partial^2 fpartial^2 x(0,0).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar algumas derivadas parciais de primeira e segunda ordem no ponto (0,0) de
f(x,y)=x,y^2+ycos x-4sin y
Isso é parte do conteúdo de derivadas parciais. Pra resolver, vamos usar a definição (vamo tratar uma variável de cada vez) e as regras de derivação (produto, soma e cadeia).

Passo 2

Primeiro, partial fpartial x. Trata y como constante e deriva em relação a x:
  • partial(x,y^2)/partial x = y^2.
  • partial(ycos x)/partial x = ycdot(-sin x) = -ysin x.
  • partial(-4sin y)/partial x = 0.
Logo
fx(x,y)=y^2 - ysin x,
e em (0,0):
fx(0,0)=0^2 - 0cdotsin0 = 0

Passo 3

Agora, partial fpartial y. Trata x como constante:
  • partial(x,y^2)/partial y = 2xy.
  • partial(ycos x)/partial y = cos x.
  • partial(-4sin y)/partial y = -4cos y.
Então
fy(x,y)=2xy + cos x - 4cos y,
e em (0,0):
fy(0,0)=2cdot0cdot0 + cos0 - 4cos0 = 1 - 4 = -3

Passo 4

Para partial^2 fpartial xpartial y, derivamos fx(x,y)=y^2 - ysin x em relação a y:
  • partial(y^2)/partial y = 2y.
  • partial(-ysin x)/partial y = -sin x.
Fica
fxy(x,y)=2y - sin x,
e em (0,0):
fxy(0,0)=2cdot0 - sin0 = 0

Passo 5

Para partial^2 fpartial^2 y, derivamos fy(x,y)=2xy + cos x - 4cos y em relação a y:
  • partial(2xy)/partial y = 2x.
  • partial(cos x)/partial y = 0.
  • partial(-4cos y)/partial y = -4(-sin y)=4sin y.
Então
fyy(x,y)=2x + 4sin y,
e em (0,0):
fyy(0,0)=2cdot0 + 4sin0 = 0

Passo 6

Por fim, partial^2 fpartial^2 x, derivando de novo fx(x,y)=y^2 - ysin x em relação a x:
  • partial(y^2)/partial x = 0.
  • partial(-ysin x)/partial x = -ycos x.
Logo
fxx(x,y)=-ycos x,
e em (0,0):
fxx(0,0)=-0cdotcos0 = 0

Resposta

fx(0,0)=0, fy(0,0)=-3, fxy(0,0)=0, fyy(0,0)=0, fxx(0,0)=0

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