Resolva as equaçoes diferenciais:
tg x sen^2 y d x+cos ^2 x ctg y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
tan x,sin^2 y,dx+cos^2 x,cot y,dy=0. O conteúdo é separação de variáveis em equação diferencial, e vamos usar identidades trigonométricas (como tan x=sin x/cos x, cot y=cos y/sin y) e o método de separar variáveis.

Passo 2

Para ver se é separável, dividimos ambos os lados por cos^2 x,sin^2 y. Assim
[
\frac{\tan x,\sin^2 y}{\cos^2 x,\sin^2 y}dx + \frac{\cos^2 x,\cot y}{\cos^2 x,\sin^2 y}dy = 0
], o que simplifica para
[
\frac{\sin x}{\cos^3 x}dx + \frac{\cos y}{\sin^3 y}dy = 0
].

Passo 3

Agora separamos as variáveis:
[
\frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy
].

Passo 4

Integramos cada lado:
[
\int \frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = \int -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy
].

Passo 5

No lado de x, fazemos u=cos x, du=-sin x,dx, daí
[
\int \frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = \int -u^{-3}du = \frac{1}{2u^2} = \frac{1}{2\cos^2 x}.
], no lado de y, fazemos v=sin y, dv=cos y,dy, daí
[
\int -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy = -\int v^{-3}dv = -\Bigl(-\frac{1}{2v^2}\Bigr) = \frac{1}{2\sin^2 y}.
].

Passo 6

Igualando as integrais (e somando uma constante C) obtemos
[
\frac{1}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2\sin^2 y} + C.
], multiplicando por 2 e rearranjando, a solução geral fica
[
\operatorname{sec}^2 x - \csc^2 y = K,
] onde K é constante de integração.

Resposta

sec^2 x - csc^2 y = K

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