Resolva as equaçoes diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
. O conteúdo é separação de variáveis em equação diferencial, e vamos usar identidades trigonométricas (como
,
) e o método de separar variáveis.
Passo 2
Para ver se é separável, dividimos ambos os lados por
. Assim
[
\frac{\tan x,\sin^2 y}{\cos^2 x,\sin^2 y}dx + \frac{\cos^2 x,\cot y}{\cos^2 x,\sin^2 y}dy = 0
], o que simplifica para
[
\frac{\sin x}{\cos^3 x}dx + \frac{\cos y}{\sin^3 y}dy = 0
].
[
\frac{\tan x,\sin^2 y}{\cos^2 x,\sin^2 y}dx + \frac{\cos^2 x,\cot y}{\cos^2 x,\sin^2 y}dy = 0
], o que simplifica para
[
\frac{\sin x}{\cos^3 x}dx + \frac{\cos y}{\sin^3 y}dy = 0
].
Passo 3
Agora separamos as variáveis:
[
\frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy
].
[
\frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy
].
Passo 4
Integramos cada lado:
[
\int \frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = \int -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy
].
[
\int \frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = \int -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy
].
Passo 5
No lado de
, fazemos
,
, daí
[
\int \frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = \int -u^{-3}du = \frac{1}{2u^2} = \frac{1}{2\cos^2 x}.
], no lado de , fazemos
,
, daí
[
\int -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy = -\int v^{-3}dv = -\Bigl(-\frac{1}{2v^2}\Bigr) = \frac{1}{2\sin^2 y}.
].
[
\int \frac{\sin x}{\cos^3 x},dx = \int -u^{-3}du = \frac{1}{2u^2} = \frac{1}{2\cos^2 x}.
], no lado de
[
\int -\frac{\cos y}{\sin^3 y},dy = -\int v^{-3}dv = -\Bigl(-\frac{1}{2v^2}\Bigr) = \frac{1}{2\sin^2 y}.
].
Passo 6
Igualando as integrais (e somando uma constante
) obtemos
[
\frac{1}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2\sin^2 y} + C.
], multiplicando por 2 e rearranjando, a solução geral fica
[
\operatorname{sec}^2 x - \csc^2 y = K,
] onde é constante de integração.
[
\frac{1}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2\sin^2 y} + C.
], multiplicando por 2 e rearranjando, a solução geral fica
[
\operatorname{sec}^2 x - \csc^2 y = K,
] onde