Resolva as equaçoes diferenciais:
y-x y^prime=1+x^2 y^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y - x,y' = 1 + x^2y',
ou seja, encontrar y(x) que satisfaz essa relação. O conteúdo principal aqui é reconhecer que dá para isolar y' e obter uma equação separável em y e x.

Passo 2

Isolamos y' = dydx. Partimos de
y - xdydx = 1 + x^2dydx
e agrupamos os termos com tfracdydx:
y - 1 = dydxl(x + x^2r) Longrightarrow dydx = y - 1x(1 + x)

Passo 3

Separamos variáveis para integrar:
dyy - 1 = dxx(1 + x)

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
integral dyy - 1 = lnl|y - 1r|
No lado direito fazemos frações parciais:
1x(1 + x) = 1x - 11 + x,
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integral dxx(1 + x) = integrall(1x - 11 + xr),dx = ln|x| - ln|1 + x|
Incluindo a constante C, resulta
lnl|y - 1r| = ln!l|x1 + xr| + C

Passo 5

Exponenciando, obtemos
l|y - 1r| = e^C,x1 + x = C1,x1 + x,
onde C1=e^C é constante arbitrária (podendo absorver o sinal). Assim a solução geral é
y = 1 + C,x1 + x,
com C constante real.

Resposta

y(x) = 1 + C,x1 + x,
onde C é uma constante de integração.

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