(1,0 ponto) Encontre a área determinada pelas curvas y=x^2, y= 2, x=0 e x=1. (Dica. Faça um esboço da região.)
OS.b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área delimitada pelas curvas $ y = x^{2} $, $ y = 2 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre encontrar áreas entre curvas usando integrais. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e como configurar a integral para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas curvas:
  • $ y = x^{2} $ é uma parábola que abre para cima.
  • $ y = 2 $ é uma reta horizontal.
  • $ x = 0 $ é o eixo y.
  • $ x = 1 $ é uma reta vertical.
Vamos desenhar um esboço para visualizar a região entre essas curvas. A parábola $ y = x^{2} $ cruza a reta $ y = 2 $ quando $ x^{2} = 2 $, ou seja, quando $ x = \sqrt{2} $. Mas como nosso intervalo é de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, vamos focar nessa parte específica.

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre essas curvas no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, vamos usar a integral definida. A ideia é integrar a diferença entre a curva de cima e a curva de baixo nesse intervalo.
Aqui, a curva de cima é $ y = 2 $ e a curva de baixo é $ y = x^{2} $.

Passo 4

Montamos a integral da seguinte forma:
Área = integral0^1 (2 - x^2) , dx Á
Explicando: Subtraímos $ x^{2} $ de 2 porque queremos a distância vertical entre as duas curvas para cada valor de $ x $ no intervalo.

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
integral0^1 (2 - x^2) , dx = integral0^1 2 , dx - integral0^1 x^2 , dx
Primeiro, calculamos $ \int 2 , dx $:
integral 2 , dx
Em seguida, calculamos $ \int x^{2} , dx $:
integral 2 , dx = 2x + C

Passo 6

Substituímos os limites de integração de 0 a 1 em cada parte:
Área = [2x]0^1 - [x^33]0^1 Á
Calculando cada termo:
Para $ 2x $:
2x
Para $ \frac{x^{3}}{3} $:
2(1) - 2(0) = 2

Passo 7

Subtraindo os resultados:
Área = 2 - 13 = 63 - 13 = 53 Á

Resposta

A área determinada pelas curvas $ y = x^{2} $, $ y = 2 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $ é y = x^2 unidades quadradas.

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