(1,0 ponto) Encontre a área determinada pelas curvas
e
. (Dica. Faça um esboço da região.)
OS.b)
OS.b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área delimitada pelas curvas $ y = x^{2} $, $ y = 2 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre encontrar áreas entre curvas usando integrais. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e como configurar a integral para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas curvas:
- $ y = x^{2} $ é uma parábola que abre para cima.
- $ y = 2 $ é uma reta horizontal.
- $ x = 0 $ é o eixo y.
- $ x = 1 $ é uma reta vertical.
Vamos desenhar um esboço para visualizar a região entre essas curvas. A parábola $ y = x^{2} $ cruza a reta $ y = 2 $ quando $ x^{2} = 2 $, ou seja, quando $ x = \sqrt{2} $. Mas como nosso intervalo é de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, vamos focar nessa parte específica.
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre essas curvas no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, vamos usar a integral definida. A ideia é integrar a diferença entre a curva de cima e a curva de baixo nesse intervalo.
Aqui, a curva de cima é $ y = 2 $ e a curva de baixo é $ y = x^{2} $.
Passo 4
Montamos a integral da seguinte forma:
Explicando: Subtraímos $ x^{2} $ de 2 porque queremos a distância vertical entre as duas curvas para cada valor de $ x $ no intervalo.
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
Primeiro, calculamos $ \int 2 , dx $:
Em seguida, calculamos $ \int x^{2} , dx $:
Passo 6
Substituímos os limites de integração de 0 a 1 em cada parte:
Calculando cada termo:
Para $ 2x $:
Para $ \frac{x^{3}}{3} $:
Passo 7
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área determinada pelas curvas $ y = x^{2} $, $ y = 2 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $ é
unidades quadradas.