(1,5 ponto) Encontre uma constante k para que a função v(x, y) = y^3 - 4xy + kx^2y seja a parte imaginária de uma função analítica em C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para achar uma constante tal que a função seja a parte imaginária de uma função analítica no conjunto dos números complexos . Para resolver isso, a gente vai usar as equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Cauchy-Riemann. Se temos uma função analítica , então as partes real e imaginária precisam satisfazer:
Isso garante que a função seja diferenciável em todo o plano complexo, ou seja, analítica.

Passo 3

Como a gente já tem , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos usar a primeira equação de Cauchy-Riemann: . Isso significa que:
Para encontrar , vamos integrar essa expressão em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda equação de Cauchy-Riemann: . Primeiro, vamos calcular :
E é:
Igualando as duas expressões:

Passo 6

Para que essa igualdade valha para todos os e , os coeficientes de e os termos sem devem ser iguais. Então, temos:
Para os termos com :
Para os termos sem :

Resposta

A constante deve ser igual a .

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