(1,5 ponto) Encontre uma constante
para que a função
seja a parte imaginária de uma função analítica em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para achar uma constante
tal que a função
seja a parte imaginária de uma função analítica no conjunto dos números complexos
. Para resolver isso, a gente vai usar as equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Cauchy-Riemann. Se temos uma função analítica
, então as partes real
e imaginária
precisam satisfazer:
Isso garante que a função seja diferenciável em todo o plano complexo, ou seja, analítica.
Passo 3
Como a gente já tem
, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos usar a primeira equação de Cauchy-Riemann:
. Isso significa que:
Para encontrar
, vamos integrar essa expressão em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda equação de Cauchy-Riemann:
. Primeiro, vamos calcular
:
E
é:
Igualando as duas expressões:
Passo 6
Para que essa igualdade valha para todos os
e
, os coeficientes de
e os termos sem
devem ser iguais. Então, temos:
Para os termos com
:
Para os termos sem
:
Resposta
A constante
deve ser igual a
.