(1.2) ( 0,5 ponto) Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições 1 <= r <= 2, cos theta <= 0.

Passo 1

Neste exercício, o enunciado pede para esboçarmos a região do plano cujas coordenadas polares satisfazem as condições 1 <= r <= 2 e costheta <= 0. O conteúdo aqui é coordenadas polares e a relação delas com o sistema cartesiano. Vamos precisar lembrar que em coordenadas polares valem x = rcostheta e y = rsintheta.

Passo 2

A condição costheta <= 0 significa que o cosseno do ângulo é não-positivo. Como costheta = x/r, para r>0 isso equivale a x <= 0, ou seja, estamos no semiplano esquerdo do plano. Em termos de ângulo, isso se traduz no intervalo
pi2 <= theta <= 3pi2

Passo 3

A condição 1 <= r <= 2 define uma coroa circular (anel) centrada na origem, com raio interno igual a 1 e raio externo igual a 2. É a região compreendida entre dois círculos concêntricos.

Passo 4

A região buscada é a interseção da coroa circular definida por 1 <= r <= 2 com o semiplano esquerdo x <= 0. Em coordenadas polares, isso corresponde a um setor anelar cujo ângulo varia de pi/2 a 3pi/2 e cujo raio varia de 1 a 2.

Resposta

A região é o setor anelar dado por
(r,theta)colon 1 <= r <= 2,; tfracpi2 <= theta <= tfrac3pi2

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