(1.1) (1,0 ponto) Mostre que a curva polar C1: r=62+sen theta represente uma elipse.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva polar
r=62+sintheta
é uma elipse. Vamos usar coordenadas cartesianas, lembrando que x=rcostheta, y=rsintheta e portanto sintheta=tfracyr.

Passo 2

Substituindo sintheta=tfracyr na equação polar, temos
r=62+tfracyr
O próximo passo é eliminar o denominador.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2+tfracyr obtemos
rl(2+yrr)=6
ou seja
2r+y=6.

Passo 4

Agora usamos r=raizx^2+y^2, logo
2raizx^2+y^2+y=6.
Isolamos o radical:
2raizx^2+y^2=6-y.

Passo 5

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
4(x^2+y^2)=(6-y)^2
que expande para
4x^2+4y^2=36-12y+y^2.

Passo 6

Reagrupando termos:
4x^2+4y^2-y^2+12y-36=0
4x^2+3y^2+12y-36=0.
Agora completamos o quadrado em y:

Passo 7

Escrevendo
4x^2+3l(y^2+4yr)=36
4x^2+3l((y+2)^2-4r)=36
4x^2+3(y+2)^2-12=36
4x^2+3(y+2)^2=48.
Dividindo tudo por 48 fica

Passo 8

4x^248+3(y+2)^248=1
x^212+(y+2)^216=1.
Isso é exatamente a equação cartesiana de uma elipse com centro em (0,-2).

Resposta

x^212+(y+2)^216=1

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