Seja a in R e f(x)=a-x. Mostre que f(f(x))=x para todo x real.

Passo 1

Estamos com a função f:RtoR definida por f(x)=a-x. O que queremos mostrar é que, ao aplicar f duas vezes, o resultado volta a ser o valor original x. Para isso vamos usar o conceito de composição de funções e propriedades de soma e subtração.

Passo 2

Pelo conceito de composição, f(f(x)) significa “pegar a função f e aplicá-la ao resultado de f(x)”. Logo:
f(f(x)) = a - f(x)

Passo 3

Agora substituímos a expressão de f(x), que é a - x, dentro de f(f(x)). Isso dá:
f(f(x)) = a - (a - x)
Em seguida usamos a propriedade de subtração de parênteses:
a - (a - x) = a - a + x = x

Passo 4

Concluímos, então, que para todo valor real x, f(f(x)) = x. Isso mostra que f é uma involução, ou seja, ao aplicá-la duas vezes, voltamos ao ponto de partida.

Resposta

f(f(x)) = x

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