Sejam f(x)=1+2 x, e g(x)=a+b x. Para que constantes a e b tem-se f circ g=g circ f ?

Passo 1

O enunciado nos dá as funções lineares f(x)=1+2x e g(x)=a+bx e pede encontrar a e b tais que fcirc g = gcirc f. O conteúdo principal é composição de funções lineares e igualdade de polinômios.

Passo 2

Vamos calcular f(g(x)). Pela definição de composição, temos:
f(g(x)) = 1 + 2l(a + b xr) = 1 + 2a + 2b x

Passo 3

Agora calculamos g(f(x)). Usando a definição de g:
g(f(x)) = a + bl(1 + 2xr) = a + b + 2b x

Passo 4

Para ter f(g(x)) = g(f(x)) para todo x, igualamos as expressões obtidas. Os termos de x coincidem automaticamente ( 2b = 2b), então igualamos apenas os termos constantes:
1 + 2a = a + b

Passo 5

Resolvendo para b em função de a:
b = 1 + 2a - a = a + 1

Resposta

Para qualquer ainR, deve-se ter b = a + 1.

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