(1 ponto)
Se a n-ésima soma parcial de uma série sumn=o^infty an é
sn=n-1n+1
encontre an e sumn=o^infty an.

Passo 1

O enunciado dá a soma parcial da série sumn=0^inftyan como sn=n-1n+1. O conteúdo aqui é séries numéricas: vamos usar a relação entre soma parcial e termo geral an=sn - sn-1 e depois obter a soma infinita pelo limite de sn.

Passo 2

Para n=0, o termo a0 é exatamente a soma parcial s0. Calculando: s0=0-10+1=-1, logo a0=-1.

Passo 3

Para n>=1, usamos an=sn - sn-1. Então: an=n-1n+1-(n-1)-1(n-1)+1=n-1n+1-n-2n Colocando sobre o mesmo denominador: an=n(n-1)-(n+1)(n-2)n(n+1)=2n(n+1)

Passo 4

A soma infinita da série é o limite das somas parciais: sumn=0^inftyan=limntoinftysn=limntoinftyn-1n+1=1

Resposta

a0=-1, e para n>=1, an=2n(n+1). A soma da série é sumn=0^inftyan=1.

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