(2,5 ponto) Seja R a região compreendida por y=arcsen(x), x=1 e y=0.
(i) Esboce a região R e monte as integrais iteradas integral duplaR y d y d x e integral duplaR y d x d y.
(ii) Calcule integral duplaR y d x d y.

Passo 1

A questão descreve a região R delimitada por y=arcsen(x), x=1 e y=0. O conteúdo envolve integração dupla e troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender bem como é R no plano xy e usar definição de integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, montar a integral iterada com ordem dy dx. Como y varia de 0 até y=arcsen(x) e x vai de 0 (onde arcsen(x)=0) até 1 (onde arcsen(1)=π/2), temos:
integral duplaR y,dy,dx = integralx=0^1 l(integraly=0^arcsin(x) y,dyr) dx

Passo 3

Agora, montar a integral iterada com ordem dx dy. Nesse caso y varia de 0 até π/2, e para cada y fixo, x vai de sin(y) (pois y=arcsen(x) ⇒ x=sin(y)) até 1. Assim:
integral duplaR y,dx,dy = integraly=0^pi/2 l(integralx=sin(y)^1 y,dxr) dy

Passo 4

Para calcular integral duplaR y,dx,dy, avaliamos a integral interna em x:
integralx=sin(y)^1 y,dx = yl[ x r]x=sin(y)^1 = yl(1-sin(y)r)
Logo a integral torna-se
integral0^pi/2 yl(1-sin(y)r) dy = integral0^pi/2 y,dy - integral0^pi/2 ysin(y),dy

Passo 5

Agora calculamos separadamente:
  1. integral0^pi/2 y,dy = l[tfracy^22r]0^pi/2 = tfrac12l(tfracpi2r)^2 = tfracpi^28
  2. Para integral0^pi/2 ysin(y),dy, usamos integração por partes com u=y, dv=sin(y)dy, obtendo uv-integral vdu = -ycos(y)+sin(y). Avaliando de 0 a pi/2 dá 1.

Passo 6

Subtraindo, obtemos
integral duplaR y,dx,dy = tfracpi^28 - 1

Resposta

integral duplaR y,dx,dy = tfracpi^28 - 1

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