(2,5 ponto) Seja
a região compreendida por
e
.
(i) Esboce a região
e monte as integrais iteradas
e
.
(ii) Calcule
.
(i) Esboce a região
(ii) Calcule
Passo 1
A questão descreve a região R delimitada por y=arcsen(x), x=1 e y=0. O conteúdo envolve integração dupla e troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender bem como é R no plano xy e usar definição de integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, montar a integral iterada com ordem dy dx. Como y varia de 0 até y=arcsen(x) e x vai de 0 (onde arcsen(x)=0) até 1 (onde arcsen(1)=π/2), temos:
Passo 3
Agora, montar a integral iterada com ordem dx dy. Nesse caso y varia de 0 até π/2, e para cada y fixo, x vai de sin(y) (pois y=arcsen(x) ⇒ x=sin(y)) até 1. Assim:
Passo 4
Para calcular
, avaliamos a integral interna em x:
Logo a integral torna-se
Passo 5
Agora calculamos separadamente:
-
- Para
, usamos integração por partes com , , obtendo . Avaliando de 0 a dá 1.
Passo 6
Subtraindo, obtemos