Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(i)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = ,finF(R) mid f(-x)=f(x)
é subespaço do espaço vetorial real V=F(R). Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: mostrar que W não é vazio (contém a função zero), que é fechado sob soma e que é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que a função zero ,0:RtoR, dada por 0(x)=0, pertence a W. De fato,
0(-x)=0=0(x),
logo 0in W, e portanto Wneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam f,gin W. Então para todo xinR temos
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)
Logo f+g também satisfaz a condição de paridade, isto é, f+gin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja fin W e alphainR. Então
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x)
Portanto alpha fin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço de V.

Resposta

W é subespaço de V.

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