Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço do espaço vetorial real
. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: mostrar que
não é vazio (contém a função zero), que é fechado sob soma e que é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que a função zero
, dada por
, pertence a
. De fato,
logo
, e portanto
.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
. Então para todo
temos
Logo
também satisfaz a condição de paridade, isto é,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
. Então
Portanto
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.