(3 pontos) Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular as seguintes integrais:
, em que
é a bola unitária com centro na origen e raio 1 .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral triple
onde
é a bola unitária centrada na origem, ou seja
Informações dadas e objetivo claro:
- Região de integração:
. - Integrando:
. - Objetivo: calcular o valor da integral triple sobre
.
Passo 2
Escolha das coordenadas e razão: como o integrando depende apenas de
, é natural usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
com a convenção
onde
é a distância à origem,
é o ângulo polar (do eixo
) e
é o ângulo azimutal. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Breve explicação do jacobiano
: ele surge da mudança de variáveis e corresponde ao produto do fator radial
(área de esfera de raio
) e do fator
(provém da área angular na esfera).
Passo 3
Expressar integrando e limites em esféricas. Como
, o integrando fica
. A bola unitária corresponde a
,
,
. Assim a integral vira
Passo 4
Separar as integrais angulares (são fáceis) e a radial. As integrais em
e
são
Multiplicando obtemos o fator angular
. Portanto
Agora o problema reduz-se a calcular a integral unidimensional
.
Passo 5
Calcular a integral radial
. Fazemos uma integração por partes conveniente. Escreva
Escolhendo
e
, temos
e, como
, segue que
Aplicando integração por partes
obtemos um antiderivado:
A integral
não é elementar, mas pode ser escrita com a função erro imaginária
, definida por
Assim
Substituindo no antiderivado:
Passo 6
Avaliar a integral definida de
a
:
pois
. Multiplicando pelo fator angular
obtém-se o valor final da integral triple:
Se for útil um valor numérico aproximado, usando
, obtemos aproximadamente
.