(3 pontos) Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular as seguintes integrais:
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V, em que B é a bola unitária com centro na origen e raio 1 .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral triple
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV,
onde B é a bola unitária centrada na origem, ou seja
B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Região de integração: \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\}.
  • Integrando: e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Objetivo: calcular o valor da integral triple sobre B.

Passo 2

Escolha das coordenadas e razão: como o integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}, é natural usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas usamos as variáveis (r,\varphi,\theta) com a convenção
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
onde r\ge0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Breve explicação do jacobiano r^{2}\sin\varphi: ele surge da mudança de variáveis e corresponde ao produto do fator radial r^{2} (área de esfera de raio r) e do fator \sin\varphi (provém da área angular na esfera).

Passo 3

Expressar integrando e limites em esféricas. Como x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, o integrando fica e^{r^{2}}. A bola unitária corresponde a 0\le r\le 1, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le 2\pi. Assim a integral vira
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Separar as integrais angulares (são fáceis) e a radial. As integrais em \theta e \varphi são
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2.
Multiplicando obtemos o fator angular 2\pi\cdot 2 = 4\pi. Portanto
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = 4\pi \int_{0}^{1} r^{2} e^{r^{2}}\,dr.
Agora o problema reduz-se a calcular a integral unidimensional \int_{0}^{1} r^{2} e^{r^{2}}\,dr.

Passo 5

Calcular a integral radial \int_{0}^{1} r^{2} e^{r^{2}}\,dr. Fazemos uma integração por partes conveniente. Escreva
\int r^{2} e^{r^{2}}\,dr = \int r\cdot \big(r e^{r^{2}}\big)\,dr.
Escolhendo u=r e dv = r e^{r^{2}}\,dr, temos du=dr e, como d(e^{r^{2}})=2r e^{r^{2}}\,dr, segue que
v=\int r e^{r^{2}}\,dr = \tfrac{1}{2}e^{r^{2}}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos um antiderivado:
\int r^{2} e^{r^{2}}\,dr = \frac{r e^{r^{2}}}{2} - \frac{1}{2}\int e^{r^{2}}\,dr + C.
A integral \int e^{r^{2}}\,dr não é elementar, mas pode ser escrita com a função erro imaginária \mathrm{erfi}(r), definida por
\frac{d}{dr}\big(\mathrm{erfi}(r)\big)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{r^{2}}.
Assim
\int e^{r^{2}}\,dr = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(r)+C.
Substituindo no antiderivado:
\int r^{2} e^{r^{2}}\,dr = \frac{r e^{r^{2}}}{2} - \frac{\sqrt{\pi}}{4}\,\mathrm{erfi}(r) + C.

Passo 6

Avaliar a integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1} r^{2} e^{r^{2}}\,dr = \left[\frac{r e^{r^{2}}}{2} - \frac{\sqrt{\pi}}{4}\,\mathrm{erfi}(r)\right]_{0}^{1} = \frac{e}{2} - \frac{\sqrt{\pi}}{4}\,\mathrm{erfi}(1),
pois \mathrm{erfi}(0)=0. Multiplicando pelo fator angular 4\pi obtém-se o valor final da integral triple:
\iiint_{B} e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = 4\pi\left(\frac{e}{2} - \frac{\sqrt{\pi}}{4}\,\mathrm{erfi}(1)\right) = 2\pi e - \pi\sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(1).
Se for útil um valor numérico aproximado, usando \mathrm{erfi}(1)\approx 1{,}6504257588, obtemos aproximadamente 7{,}89.

Resposta

\displaystyle 2\pi e - \pi\sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(1) \approx \displaystyle 7{,}89

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