Um ponto fixo de uma transformação linear T: V V é um vetor u tal que T(u)=u.
Determine todos os pontos fixos da transformação linear T(x, y)=(x, 2 y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transformações lineares e pontos fixos. Um ponto fixo é aquele vetor que, quando aplicamos a transformação, não muda. Aqui, temos a transformação linear T(x, y) = (x, 2y) . Nosso objetivo é descobrir quais vetores (x, y) permanecem iguais após a aplicação de T . Para resolver isso, vamos igualar T(u) a u e encontrar os valores de x e y que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de ponto fixo:
T(u) = u
No nosso caso, u = (x, y) , então:
T(x, y) = (x, 2y) = (x, y)
Isso nos dá o sistema de equações:
x = x 2y = y

Passo 3

A primeira equação x = x é verdadeira para qualquer valor de x , então não nos dá nenhuma restrição. A segunda equação 2y = y podemos resolver isolando y :
2y = y 2y - y = 0 y = 0
Portanto, o valor de y deve ser zero para que o vetor seja um ponto fixo.

Resposta

Os pontos fixos da transformação linear T(x, y) = (x, 2y) são todos os vetores da forma (x, 0) , onde x pode ser qualquer número real.

Exercícios relacionados