Um ponto fixo de uma transformação linear
é um vetor
tal que
.
Mostre que o conjunto de todos os pontos fixos de uma transformação linear é subespaço vetorial de V.
Mostre que o conjunto de todos os pontos fixos de uma transformação linear é subespaço vetorial de V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre pontos fixos de uma transformação linear
. Nosso objetivo é mostrar que o conjunto de todos esses pontos fixos forma um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares, pontos fixos e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um ponto fixo. Um vetor
é um ponto fixo da transformação
se, quando aplicamos
em
, ele retorna o próprio
. Matematicamente, isso é escrito como:
Vamos chamar o conjunto de todos esses pontos fixos de
:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de
é um conjunto que:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar essas três propriedades para
.
Passo 4
Primeiro, verificamos se
contém o vetor zero. Como
é uma transformação linear, sabemos que
. Portanto:
Isso mostra que o conjunto
não está vazio e contém o vetor zero.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que:
Como
é linear, temos:
Portanto:
Isso mostra que
também é um ponto fixo, ou seja,
.
Passo 6
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para um vetor
e um escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
é linear:
Portanto:
Isso mostra que
também é um ponto fixo, ou seja,
.
Resposta
Conseguimos mostrar que o conjunto de todos os pontos fixos
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Isso significa que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.