Um ponto fixo de uma transformação linear T: V V é um vetor u tal que T(u)=u.
Mostre que o conjunto de todos os pontos fixos de uma transformação linear é subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre pontos fixos de uma transformação linear T: V V . Nosso objetivo é mostrar que o conjunto de todos esses pontos fixos forma um subespaço vetorial de V . Para isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares, pontos fixos e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é um ponto fixo. Um vetor u é um ponto fixo da transformação T se, quando aplicamos T em u , ele retorna o próprio u . Matematicamente, isso é escrito como:
T(u) = u
Vamos chamar o conjunto de todos esses pontos fixos de F :
F = u in V mid T(u) = u

Passo 3

Agora, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de V é um conjunto que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar essas três propriedades para F .

Passo 4

Primeiro, verificamos se F contém o vetor zero. Como T é uma transformação linear, sabemos que T(0) = 0 . Portanto:
0 in F
Isso mostra que o conjunto F não está vazio e contém o vetor zero.

Passo 5

Agora, vamos verificar se F é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores u e v em F , a soma u + v também deve estar em F .
Sabemos que:
T(u) = u
T(v) = v
Como T é linear, temos:
T(u + v) = T(u) + T(v) = u + v
Portanto:
T(u + v) = u + v
Isso mostra que u + v também é um ponto fixo, ou seja, u + v in F .

Passo 6

Por último, vamos ver se F é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para um vetor u in F e um escalar c , o vetor c u também deve estar em F .
Sabemos que:
T(u) = u
Multiplicando ambos os lados por c :
c T(u) = c u
Como T é linear:
T(c u) = c T(u) = c u
Portanto:
T(c u) = c u
Isso mostra que c u também é um ponto fixo, ou seja, c u in F .

Resposta

Conseguimos mostrar que o conjunto de todos os pontos fixos F contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Isso significa que F é, de fato, um subespaço vetorial de V .

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