Uma translação em R^2 é uma transformação linear da forma T(x, y)=(x-h, y-k), onde pelo menos uma das constantes h e k são não nulas.
Dada a translação T(x, y)=(x-2, y+1) determine as imagens de (0,0),(2,-1) e (5,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre translações no plano R^2. Translações são transformações que movem todos os pontos de um jeito determinado. Aqui, estamos trabalhando com a translação T(x, y) = (x-2, y+1). Nosso objetivo é descobrir para onde ficam os pontos (0,0), (2,-1) e (5,4) depois dessa movimentação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é uma translação. Na matemática, uma translação desloca cada ponto de um espaço por um vetor fixo. No caso da nossa translação T(x, y) = (x-2, y+1):
  • x-2 significa que vamos mover o ponto 2 unidades para a esquerda no eixo x.
  • y+1 indica que vamos mover o ponto 1 unidade para cima no eixo y.
Então, para encontrar a imagem de qualquer ponto (x, y), basta aplicar essa mudança nas coordenadas.

Passo 3

Vamos aplicar a translação no primeiro ponto: (0,0).
Usando a fórmula da translação:
T(0, 0) = (0 - 2, 0 + 1) = (-2, 1)
Então, a imagem de (0,0) é (-2, 1).

Passo 4

Agora, vamos para o segundo ponto: (2,-1).
Aplicando a translação:
T(2, -1) = (2 - 2, -1 + 1) = (0, 0)
Portanto, a imagem de (2,-1) é (0, 0).

Passo 5

Por fim, vamos transformar o terceiro ponto: (5,4).
Usando a translação:
T(5, 4) = (5 - 2, 4 + 1) = (3, 5)
Assim, a imagem de (5,4) é (3, 5).

Resposta

As imagens dos pontos são:
  • T(0,0) = (-2, 1)
  • T(2,-1) = (0, 0)
  • T(5,4) = (3, 5)

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