Uma translação em R^2 é uma transformação linear da forma T(x, y)=(x-h, y-k), onde pelo menos uma das constantes h e k são não nulas.
Mostre que a translação é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre translações no plano, especificamente mostrando que uma translação definida por T(x, y) = (x - h, y - k) é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e como uma translação se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Em matemática, uma transformação linear entre dois espaços vetoriais deve satisfazer duas propriedades principais:
  1. Adição de Vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por Escalar: T(cu) = cT(u)
Onde u e v são vetores e c é um escalar (número real, por exemplo).

Passo 3

Agora, vamos ver a definição da translação dada: T(x, y) = (x - h, y - k) . Aqui, h e k são constantes que definem a “distância” da translação em cada direção.
Vamos testar se essa transformação atende às duas propriedades de uma transformação linear.

Passo 4

Teste da Adição de Vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer u = (x1, y1) e v = (x2, y2) .
Primeiro, aplicamos a transformação na soma desses vetores:
T(u + v) = T((x1 + x2, y1 + y2)) = (x1 + x2 - h, y1 + y2 - k)
Agora, aplicamos a transformação em cada vetor separadamente e depois somamos:
T(u) + T(v) = (x1 - h, y1 - k) + (x2 - h, y2 - k) = (x1 + x2 - 2h, y1 + y2 - 2k)
Comparando os dois resultados:
(x1 + x2 - h, y1 + y2 - k) neq (x1 + x2 - 2h, y1 + y2 - 2k)
A menos que h = 0 e k = 0 , o que não é o caso aqui, já que pelo menos um deles é não nulo.

Passo 5

Teste da Multiplicação por Escalar:
Vamos pegar um vetor u = (x, y) e um escalar c .
Aplicamos a transformação na multiplicação por escalar:
T(cu) = T((cx, cy)) = (cx - h, cy - k)
Agora, multiplicamos o resultado da transformação por c :
cT(u) = c(x - h, y - k) = (c(x - h), c(y - k)) = (cx - ch, cy - ck)
Comparando os dois resultados:
(cx - h, cy - k) neq (cx - ch, cy - ck)
Novamente, a igualdade só ocorre se h = 0 e k = 0 , o que não é o caso.

Resposta

Então, concluímos que a translação T(x, y) = (x - h, y - k) não é uma transformação linear, já que não satisfaz as propriedades básicas de adição de vetores e multiplicação por escalar quando h e/ou k são diferentes de zero.

Exercícios relacionados