Uma translação em
é uma transformação linear da forma
, onde pelo menos uma das constantes
e
são não nulas.
Mostre que a translação é uma transformação linear.
Mostre que a translação é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre translações no plano, especificamente mostrando que uma translação definida por
é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e como uma translação se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Em matemática, uma transformação linear entre dois espaços vetoriais deve satisfazer duas propriedades principais:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Onde
e
são vetores e
é um escalar (número real, por exemplo).
Passo 3
Agora, vamos ver a definição da translação dada:
. Aqui,
e
são constantes que definem a “distância” da translação em cada direção.
Vamos testar se essa transformação atende às duas propriedades de uma transformação linear.
Passo 4
Teste da Adição de Vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
.
Primeiro, aplicamos a transformação na soma desses vetores:
Agora, aplicamos a transformação em cada vetor separadamente e depois somamos:
Comparando os dois resultados:
A menos que
e
, o que não é o caso aqui, já que pelo menos um deles é não nulo.
Passo 5
Teste da Multiplicação por Escalar:
Vamos pegar um vetor
e um escalar
.
Aplicamos a transformação na multiplicação por escalar:
Agora, multiplicamos o resultado da transformação por
:
Comparando os dois resultados:
Novamente, a igualdade só ocorre se
e
, o que não é o caso.
Resposta
Então, concluímos que a translação
não é uma transformação linear, já que não satisfaz as propriedades básicas de adição de vetores e multiplicação por escalar quando
e/ou
são diferentes de zero.