Sejam L: V
W e U: V
W transformações lineares. Definimos
para todo
e
para todo
e para algum
real não-nulo.
Mostre que o conjunto
é linear\}, com as operações S e
é um espaço vetorial.
Mostre que o conjunto
Passo 1
Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares
e
. Definimos duas novas operações:
-
para todo -
para todo , onde é um número real não nulo.
O objetivo é mostrar que o conjunto
, equipado com as operações
e
, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de transformações lineares, operações de adição e multiplicação por escalar, e as propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
(no nosso caso, os números reais
) é um conjunto
equipado com duas operações:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas operações devem satisfazer oito axiomas, como associatividade, comutatividade da adição, existência do elemento neutro, existência do inverso aditivo, distributividade, etc.
No nosso caso,
é o conjunto de todas as transformações lineares de
para
. Vamos verificar se, com as operações
e
definidas,
satisfaz os axiomas de um espaço vetorial.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento sob a adição
Precisamos mostrar que se
e
são transformações lineares em
, então
também é uma transformação linear.
Como
e
são lineares:
Para qualquer
e escalar
:
Portanto,
é linear.
Passo 4
Axioma 2: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Vamos mostrar que se
é uma transformação linear em
e
é um escalar não-nulo, então
também é uma transformação linear.
Para qualquer
e escalares
:
Assim,
é linear.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da adição
Para três transformações lineares
:
Logo, a adição é associativa.
Passo 6
Axioma 4: Comutatividade da adição
Para duas transformações lineares
:
Portanto, a adição é comutativa.
Passo 7
Axioma 5: Existência do elemento neutro
Existe uma transformação linear
tal que para toda
:
Essa transformação é a transformação zero, definida por
para todo
.
Passo 8
Axioma 6: Existência do inverso aditivo
Para cada
, existe
tal que:
Onde
é a transformação zero.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Para um escalar
e transformações
:
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Para escalares
e uma transformação
:
Passo 11
Axioma 9: Associação da multiplicação por escalares
Para escalares
e uma transformação
:
Axioma 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Existe um escalar
tal que para toda
:
Resposta
Com todos os axiomas verificados, concluímos que o conjunto
, com as operações
e
definidas, é de fato um espaço vetorial.