Sejam L: V W e U: V W transformações lineares. Definimos S(v)=L(v)+U(v) para todo v in V e P(v)=b U(v) para todo v in V e para algum b real não-nulo.
Mostre que o conjunto L(V, W)=T: V W / T é linear\}, com as operações S e P é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares L: V W e U: V W . Definimos duas novas operações:
  • S(v) = L(v) + U(v) para todo v in V
  • P(v) = b cdot U(v) para todo v in V , onde b é um número real não nulo.
O objetivo é mostrar que o conjunto L(V, W) = T: V W , | , T é linear é, equipado com as operações S e P , forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de transformações lineares, operações de adição e multiplicação por escalar, e as propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo F (no nosso caso, os números reais R ) é um conjunto V equipado com duas operações:
  1. Adição: + : V times V V
  2. Multiplicação por escalar: cdot : F times V V
Essas operações devem satisfazer oito axiomas, como associatividade, comutatividade da adição, existência do elemento neutro, existência do inverso aditivo, distributividade, etc.
No nosso caso, L(V, W) é o conjunto de todas as transformações lineares de V para W . Vamos verificar se, com as operações S e P definidas, L(V, W) satisfaz os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento sob a adição
Precisamos mostrar que se T1 e T2 são transformações lineares em L(V, W) , então S(T1, T2) = T1 + T2 também é uma transformação linear.
Como T1 e T2 são lineares:
S(T1, T2)(v) = T1(v) + T2(v)
Para qualquer v1, v2 in V e escalar c :
S(T1, T2)(v1 + v2) = T1(v1 + v2) + T2(v1 + v2) = T1(v1) + T1(v2) + T2(v1) + T2(v2) = S(T1, T2)(v1) + S(T1, T2)(v2)
S(T1, T2)(c v) = T1(c v) + T2(c v) = c T1(v) + c T2(v) = c S(T1, T2)(v)
Portanto, S(T1, T2) é linear.

Passo 4

Axioma 2: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Vamos mostrar que se T é uma transformação linear em L(V, W) e b é um escalar não-nulo, então P(b, T) = b cdot T também é uma transformação linear.
Para qualquer v1, v2 in V e escalares a, c :
P(b, T)(v1 + v2) = b cdot T(v1 + v2) = b cdot (T(v1) + T(v2)) = b cdot T(v1) + b cdot T(v2) = P(b, T)(v1) + P(b, T)(v2)
P(b, T)(c v) = b cdot T(c v) = b cdot (c T(v)) = c (b cdot T(v)) = c P(b, T)(v)
Assim, P(b, T) é linear.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da adição
Para três transformações lineares T1, T2, T3 in L(V, W) :
S(S(T1, T2), T3) = (T1 + T2) + T3 = T1 + (T2 + T3) = S(T1, S(T2, T3))
Logo, a adição é associativa.

Passo 6

Axioma 4: Comutatividade da adição
Para duas transformações lineares T1, T2 in L(V, W) :
S(T1, T2) = T1 + T2 = T2 + T1 = S(T2, T1)
Portanto, a adição é comutativa.

Passo 7

Axioma 5: Existência do elemento neutro
Existe uma transformação linear T0 tal que para toda T in L(V, W) :
S(T, T0) = T + T0 = T
Essa transformação é a transformação zero, definida por T0(v) = 0 para todo v in V .

Passo 8

Axioma 6: Existência do inverso aditivo
Para cada T in L(V, W) , existe -T tal que:
S(T, -T) = T + (-T) = T - T = T0
Onde T0 é a transformação zero.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Para um escalar a e transformações T1, T2 in L(V, W) :
P(a, S(T1, T2)) = a cdot (T1 + T2) = a cdot T1 + a cdot T2 = S(P(a, T1), P(a, T2))

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Para escalares a, b e uma transformação T in L(V, W) :
P(a + b, T) = (a + b) cdot T = a cdot T + b cdot T = S(P(a, T), P(b, T))

Passo 11

Axioma 9: Associação da multiplicação por escalares
Para escalares a, b e uma transformação T in L(V, W) :
P(a cdot b, T) = (a cdot b) cdot T = a cdot (b cdot T) = P(a, P(b, T))
Axioma 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Existe um escalar 1 tal que para toda T in L(V, W) :
P(1, T) = 1 cdot T = T

Resposta

Com todos os axiomas verificados, concluímos que o conjunto L(V, W) , com as operações S e P definidas, é de fato um espaço vetorial.

Exercícios relacionados