( 1,0 ponto) Um grupo de 5 homens e 6 mulheres concorre a cinco prêmios através de um sorteio que será feito sem reposição de seus nomes. Qual a probabilidade de somente dois prêmios ser ganho por mulher?

Passo 1

O enunciado diz que há um total de 11 pessoas (5 homens e 6 mulheres) e vamos sortear 5 premiados sem reposição. Queremos a probabilidade de exatamente 2 dessas 5 pessoas serem mulheres. Este é um caso de distribuição hipergeométrica, em que contamos quantas formas favoráveis de tirar 2 mulheres e 3 homens existem e dividimos pelo número total de formas de escolher 5 pessoas de 11.

Passo 2

Calcular o número de resultados favoráveis: escolher 2 mulheres entre 6 e 3 homens entre 5. Pela combinação,
\text{Favoráveis} = \binom{6}{2}\,\binom{5}{3}.á

Passo 3

Calcular o número total de resultados possíveis: escolher 5 pessoas entre 11, ou seja,
\text{Total} = \binom{11}{5}.

Passo 4

Aplicar a definição de probabilidade como razão entre favoráveis e total:
P = \frac{\binom{6}{2}\,\binom{5}{3}}{\binom{11}{5}}.
Substituindo valores: \binom{6}{2}=15, \binom{5}{3}=10 e \binom{11}{5}=462, temos
P = \frac{15 \times 10}{462} = \frac{150}{462}.

Passo 5

Simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 6:
\frac{150}{462} = \frac{25}{77}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{77}

Exercícios relacionados