Para as questões 7, 8 e 9 considere a matriz , cujos autovalores são 1 e 4.
9 1,0 ponto Uma matriz ortogonal que diagonaliza B tem colunas:
(c) 1raiz3(1,-1,1), 1raiz2(-1,1,0), 1raiz6(-1,-1,2)
(b) 1raiz3(1,0,1), 1raiz2(-1,1,1), 1raiz6(-1,1,2)
(a) 1raiz3(1,1,1), 1raiz2(-1,1,0), 1raiz6(-1,-1,2)
(d) 1raiz3(-1,1,1), 1raiz2(-1,1,1), 1raiz6(-1,-1,2)
(e) 1raiz3(1,1,1), 1raiz2(1,1,0), 1raiz6(-1,1,2)
Passo 1
O enunciado dá a matriz simétrica
B= 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2
cujo autovalor lambda=4 tem multiplicidade 1 e lambda=1 tem multiplicidade 2. Precisamos encontrar uma base ortonormal de autovetores de B, pois uma matriz ortogonal cujas colunas sejam esses autovetores diagonaliza B.
Passo 2
Para
Dessas equações segue . Normalizando, obtemos
Passo 3
Para
Só há a condição . Sua norma é , então
Escolhemos depois . Verifica-se que é ortogonal a e a , e , então
Passo 4
Os vetores v1,v2,v3 formam um sistema ortonormal de autovetores de B. Logo a matriz ortogonal que diagonaliza B tem colunas esses vetores, isto é