Para as questões 7, 8 e 9 considere a matriz B=[lll2 & 1 & 1 1 & 1 1 & 1 & 2], cujos autovalores são 1 e 4.
9 1,0 ponto Uma matriz ortogonal que diagonaliza B tem colunas:
(c) 1raiz3(1,-1,1), 1raiz2(-1,1,0), 1raiz6(-1,-1,2)
(b) 1raiz3(1,0,1), 1raiz2(-1,1,1), 1raiz6(-1,1,2)
(a) 1raiz3(1,1,1), 1raiz2(-1,1,0), 1raiz6(-1,-1,2)
(d) 1raiz3(-1,1,1), 1raiz2(-1,1,1), 1raiz6(-1,-1,2)
(e) 1raiz3(1,1,1), 1raiz2(1,1,0), 1raiz6(-1,1,2)

Passo 1

O enunciado dá a matriz simétrica
B= 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2
cujo autovalor lambda=4 tem multiplicidade 1 e lambda=1 tem multiplicidade 2. Precisamos encontrar uma base ortonormal de autovetores de B, pois uma matriz ortogonal cujas colunas sejam esses autovetores diagonaliza B.

Passo 2

Para
Dessas equações segue . Normalizando, obtemos

Passo 3

Para
Só há a condição . Sua norma é , então
  1. Escolhemos depois . Verifica-se que é ortogonal a e a , e , então

Passo 4

Os vetores v1,v2,v3 formam um sistema ortonormal de autovetores de B. Logo a matriz ortogonal que diagonaliza B tem colunas esses vetores, isto é
1raiz3(1,1,1),;1raiz2(-1,1,0),;1raiz6(-1,-1,2)

Resposta

(a) tfrac1raiz3(1,1,1),,tfrac1raiz2(-1,1,0),,tfrac1raiz6(-1,-1,2)

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