Questão 1: (Valor - 1,0 cada item) Seja
a região no plano limitada pelas curvas
e
. Determine uma expressão, através de integral, que permite calcular o volume (Observação: não é necessário resolver a integral):
do sólido de revolução obtido pela rotação da região
em torno da reta
.
do sólido de revolução obtido pela rotação da região
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R limitada por y=4x−x^2 e y=8x−2x^2 em torno da reta x=−2. O conteúdo envolve sólidos de revolução e usaremos o método das cascas cilíndricas, sem precisar calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção das duas curvas, resolvendo 4x−x^2 = 8x−2x^2. Isso leva a x^2−4x=0, logo x=0 e x=4.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas para giro em torno de reta vertical x=−2, a casca em abscissa x tem raio igual a x−(−2)=x+2 e altura dada pela diferença entre as funções superior e inferior: (8x−2x2)−(4x−x2)=4x−x^2.
Portanto, a expressão do volume usando cascas cilíndricas é:
Portanto, a expressão do volume usando cascas cilíndricas é: