Questão 1: (Valor - 1,0 cada item) Seja
a região no plano limitada pelas curvas
e
. Determine uma expressão, através de integral, que permite calcular o volume (Observação: não é necessário resolver a integral):
do sólido de revolução obtido pela rotação da região
em torno da reta
.
do sólido de revolução obtido pela rotação da região
Passo 1
Estamos lidando com uma região R no plano limitada pelas curvas y₁=4x−x² e y₂=8x−2x², e queremos o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=10. O conteúdo é volume de sólidos de revolução usando o método dos discos/anes (washers).
Passo 2
Primeiro, encontramos onde as curvas se intersectam resolvendo 4x−x² = 8x−2x². Isso leva a x(x−4)=0, ou seja, x=0 e x=4. Logo, a região R estende-se de x=0 até x=4.
Passo 3
Em cada x entre 0 e 4, a curva y₂=8x−2x² fica acima de y₁=4x−x². Como o eixo de rotação y=10 está acima de ambas, ao girar, a imagem de y₁ gera o raio externo R(x)=10−y₁ e a imagem de y₂ gera o raio interno r(x)=10−y₂.
Passo 4
Aplicando a fórmula do volume por washers, temos V = π ∫₀⁴ [R(x)² − r(x)²] dx, ou seja, final_answer