Questão 1: (Valor - 1,0 cada item) Seja R a região no plano limitada pelas curvas y=4 x-x^2 e y=8 x-2 x^2. Determine uma expressão, através de integral, que permite calcular o volume (Observação: não é necessário resolver a integral):
do sólido de revolução obtido pela rotação da região R em torno da reta y=10.

Passo 1

Estamos lidando com uma região R no plano limitada pelas curvas y₁=4x−x² e y₂=8x−2x², e queremos o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=10. O conteúdo é volume de sólidos de revolução usando o método dos discos/anes (washers).

Passo 2

Primeiro, encontramos onde as curvas se intersectam resolvendo 4x−x² = 8x−2x². Isso leva a x(x−4)=0, ou seja, x=0 e x=4. Logo, a região R estende-se de x=0 até x=4.

Passo 3

Em cada x entre 0 e 4, a curva y₂=8x−2x² fica acima de y₁=4x−x². Como o eixo de rotação y=10 está acima de ambas, ao girar, a imagem de y₁ gera o raio externo R(x)=10−y₁ e a imagem de y₂ gera o raio interno r(x)=10−y₂.

Passo 4

Aplicando a fórmula do volume por washers, temos V = π ∫₀⁴ [R(x)² − r(x)²] dx, ou seja, final_answer

Resposta

V=piintegral0^4l[(10-(4x - x^2))^2 - (10-(8x - 2x^2))^2r],dx

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