Um ponto se move no espaço segundo a equação
alpha(t)=(4 cos t, 4 sen t, 4 cos t)
Prove que alpha é uma curva plana e ache a equação do plano que a contém;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma curva no espaço tridimensional definida por alpha(t) = (4 cos t, 4 sen t, 4 cos t). Nosso objetivo é mostrar que essa curva é plana, ou seja, que ela está toda contida em um único plano, e depois encontrar a equação desse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas no espaço e como identificar se elas são planas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os componentes da curva alpha(t). Ela está definida por três funções que dependem de t:
x = 4 cos t, y = 4 sen t, z = 4 cos t
O que nos chama a atenção aqui é que as componentes x e z são iguais: x = z. Isso já nos dá uma pista importante!

Passo 3

Para provar que a curva é plana, precisamos encontrar uma relação entre x, y e z que seja válida para todos os pontos da curva, sem depender de t. Já vimos que x = z, então podemos escrever:
x - z = 0
Essa é a equação de um plano. Portanto, todos os pontos da curva satisfazem essa equação, o que significa que a curva está contida nesse plano.

Resposta

A curva alpha(t) é plana e está contida no plano definido pela equação x - z = 0.

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