Um ponto se move no espaço segundo a equação
Prove que
é uma curva plana e ache a equação do plano que a contém;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma curva no espaço tridimensional definida por
. Nosso objetivo é mostrar que essa curva é plana, ou seja, que ela está toda contida em um único plano, e depois encontrar a equação desse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas no espaço e como identificar se elas são planas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os componentes da curva
. Ela está definida por três funções que dependem de
:
O que nos chama a atenção aqui é que as componentes
e
são iguais:
. Isso já nos dá uma pista importante!
Passo 3
Para provar que a curva é plana, precisamos encontrar uma relação entre
,
e
que seja válida para todos os pontos da curva, sem depender de
. Já vimos que
, então podemos escrever:
Essa é a equação de um plano. Portanto, todos os pontos da curva satisfazem essa equação, o que significa que a curva está contida nesse plano.
Resposta
A curva
é plana e está contida no plano definido pela equação
.