Um ponto se move sobre a elipse x^2+4 y^2=25 de tal modo que sua abscissa cresce numa razão constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia a ordenada no instante em que ela é igual a -2 unidades e a sua abscissa é positiva?

Passo 1

O enunciado diz que um ponto se move sobre a elipse
x^2 + 4y^2 = 25
de modo que a abscissa cresce à razão constante dxdt=8 unidades/s. Queremos descobrir a razão dydt no instante em que y=-2 e x>0. O conteúdo envolvido é o de taxas relacionadas e derivação implícita.

Passo 2

Derivamos implicitamente, em relação a t, a equação da elipse:
x^2 + 4y^2 = 25
ddtl(x^2r) + ddtl(4y^2r) = ddt(25)
2xdxdt + 8ydydt = 0

Passo 3

No instante dado temos y=-2. Da própria elipse:
x^2 + 4(-2)^2 = 25 ;Longrightarrow; x^2 + 16 = 25 ;Longrightarrow; x^2=9 ;Longrightarrow; x=3(escolhemos a raiz positiva)

Passo 4

Isolando dydt em
2xdxdt + 8ydydt = 0
obtemos
dydt = -,2x8y,dxdt = -,x4y,dxdt
Agora substituímos x=3, y=-2 e dxdt=8:
dydt = -,34cdot(-2)cdot 8 = -,3cdot 8-8 =3

Resposta

dydt=3 unidades por segundo.

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