Seja
a fronteira orientada positivamente do quadrado cujos lados estão nas retas
e
e seja
o círculo
orientado positivamente (Figura 65). Usando o corolário da Seção 53 , mostre por que
se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
valem
onde
é o quadrado
orientado positivamente e
é o círculo
também orientado positivamente. O conteúdo fundamental é o corolário da Seção
, que diz que integrais de funções analíticas são invariantes por deformação contínua do contorno, desde que não se cruze nenhum ponto singular.
Passo 2
Identificamos os pontos em que
não é analítica. São as raízes de
, isto é,
Passo 3
Verificamos quais dessas singularidades ficam dentro de
e dentro de
:
- O quadrado
contém apenas os pontos com e , logo só está dentro. - O círculo
contém todos os com ; como para , também aí só está dentro.
Passo 4
O domínio anular entre
e
(isto é, o conjunto de pontos entre esses contornos) não contém nenhuma singularidade de
: todas as raízes
com
estão fora de
, e
está no interior de
, não na “faixa” intermediária. Assim, em toda a região de deformação de
para
,
é analítica. Pelo corolário da Seção
, a integral de
é invariante sob essa deformação, logo
Resposta
Pela invari^ancia da integral de fun\c{c}~oes anal’{\i}ticas sob deformac~ao de contorno, conclui-se que