Seja C1 a fronteira orientada positivamente do quadrado cujos lados estão nas retas x= pm 1 e y= pm 1 e seja C2 o círculo |z|=4 orientado positivamente (Figura 65). Usando o corolário da Seção 53 , mostre por que
integralC1 f(z) d z=integralC2 f(z) d z
se
f(z)=z1-e^z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para
f(z)=z1-e^z,
valem
integralC1f(z),dz=integralC2f(z),dz,
onde C1 é o quadrado xpm1,;ypm1 orientado positivamente e C2 é o círculo lvert zrvert=4 também orientado positivamente. O conteúdo fundamental é o corolário da Seção 53, que diz que integrais de funções analíticas são invariantes por deformação contínua do contorno, desde que não se cruze nenhum ponto singular.

Passo 2

Identificamos os pontos em que f não é analítica. São as raízes de 1-e^z=0, isto é,
e^z=1Longrightarrow z=2pi i k, kinZ

Passo 3

Verificamos quais dessas singularidades ficam dentro de C1 e dentro de C2:
  • O quadrado C1 contém apenas os pontos com lvertRe zrvert<=1 e lvertIm zrvert<=1, logo só z=0 está dentro.
  • O círculo lvert zrvert=4 contém todos os z com lvert zrvert<4; como lvert2pi i krvert=2pilvert krvert>4 para lvert krvert>=1, também aí só z=0 está dentro.

Passo 4

O domínio anular entre C1 e C2 (isto é, o conjunto de pontos entre esses contornos) não contém nenhuma singularidade de f: todas as raízes 2pi i k com kne0 estão fora de C2, e z=0 está no interior de C1, não na “faixa” intermediária. Assim, em toda a região de deformação de C2 para C1, f é analítica. Pelo corolário da Seção 53, a integral de f é invariante sob essa deformação, logo
integralC1f(z),dz=integralC2f(z),dz

Resposta

Pela invari^ancia da integral de fun\c{c}~oes anal’{\i}ticas sob deformac~ao de contorno, conclui-se que
integralC1 z1-e^z,dz ;=;integralC2 z1-e^z,dz

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