( 0,5 ponto) Um nadador no oceano observa um dia que as ondas da superfície do oceano são periódicas e se assemelham a uma onda senoidal. O nadador estima que a distância vertical entre a crista e o vale de cada onda é de aproximadamente 0,45 \mathrm{~m}, e a distância entre cada crista é de aproximadamente 1,8 \mathrm{~m}. O nadador conta que 12 ondas passam a cada dois minutos. a) Quanto valem a velocidade, a amplitude e o comprimento de onda? b) Determine a função de onda harmônica simples que descreveria essas ondas.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda senoidal na superfície do oceano em que a distância vertical entre crista e vale é de 0,45\\ \mathrm m, a distância entre cristas sucessivas é de 1,8\\ \mathrm m e passam 12 ondas em 2 minutos. O que precisamos encontrar é a velocidade v, a amplitude A e o comprimento de onda \lambda (item a) e, em seguida, montar a função de onda harmônica simples y(x,t) (item b).

Passo 2

A amplitude A é metade da distância entre crista e vale, logo
A = \frac{0,45}{2} = 0,225\\ \mathrm m.
O comprimento de onda \lambda é a distância entre cristas sucessivas, ou seja,
\lambda = 1,8\\ \mathrm m.

Passo 3

Em 2 minutos (120 s) passam 12 ondas, portanto a frequência f é
f = \frac{12}{120} = 0,1\\ \mathrm{Hz},
e o período é
T = \frac{1}{f} = 10\\ \mathrm s.
A velocidade de propagação v da onda é dada por
v = \frac{\lambda}{T} = \frac{1,8}{10} = 0,18\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

A forma geral da onda viajante para propagação no sentido positivo de x é
y(x,t) = A \,\sin\bigl(kx - \omega t\bigr),
onde
k = \frac{2\pi}{\lambda} \quad\text{e}\quad \omega = 2\pi f.
Substituindo \lambda = 1,8\\ \mathrm m e f=0,1\\ \mathrm{Hz}:
k = \frac{2\pi}{1,8}\approx 3,49\\ \mathrm{rad/m}, \qquad \omega = 2\pi\cdot0,1 = 0,2\pi\approx0,628\\ \mathrm{rad/s}.
Logo a função de onda é
y(x,t) = 0,225\,\sin\bigl(3,49\,x - 0,628\,t\bigr)\quad\bigl[\mathrm m\bigr].

Resposta

(a) v = 0,18\\ \mathrm{m/s}, A = 0,225\\ \mathrm m, \lambda = 1,8\\ \mathrm m.
(b) y(x,t) = 0,225\,\sin\bigl(3,49\,x - 0,628\,t\bigr).

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