Resolver as seguintes integrais usando a těcnica de integração por partes.
integral x arctg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral x,arctgx,dx
usando integração por partes. O conteúdo aqui é a técnica de integrar o produto de duas funções, escolhendo uma parte para diferenciar e outra para integrar.

Passo 2

Escolhemos
u = arctgx, dv = x,dx
Então
du = 11+x^2,dx, v = integral x,dx = x^22
A fórmula de partes diz que
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 3

Aplicando a fórmula:
integral x,arctgx,dx = x^22,arctgx - integral x^22,11+x^2,dx
O integrando restante é
x^22(1+x^2) = 12l(1 - 11+x^2r),
pois x^2/(1+x^2)=1-1/(1+x^2).

Passo 4

Então
integral x^22(1+x^2),dx = 12integral!dx - 12integraldx1+x^2 = x2 - 12,arctgx
Substituindo de volta,
integral x,arctgx,dx = x^22,arctgx - l(x2 - 12,arctgxr) + C

Resposta

integral x,arctgx,dx = x^2+12,arctgx ;-;x2 ;+;C

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