Um ponto se move ao longo de uma curva em um campo escalar diferenciável a uma velocidade . Se representa o vetor tangente unitário à curva , prove que a taxa instatânea de variação de em relação ao tempo, no ponto , é .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um ponto percorre uma curva num campo escalar diferenciável com velocidade e for o vetor tangente unitário à , então a variação temporal de em satisfaz
O conteúdo principal é usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis e a definição de vetor tangente unitário.
Passo 2
Parametrizamos a curva por . Logo a composição é
Pela regra da cadeia temos
Em notação vetorial, isso é
onde .
Passo 3
Por definição, a velocidade escalar ao longo da curva é