1. Um ponto P se move ao longo de uma curva gamma em um campo escalar diferenciável w=f(x, y, z) a uma velocidade d sd t. Se T representa o vetor tangente unitário à curva gamma, prove que a taxa instatânea de variação de w em relação ao tempo, no ponto P, é (T cdot nabla f) d sd t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um ponto P percorre uma curva gamma num campo escalar diferenciável w=f(x,y,z) com velocidade dsdt e vec T for o vetor tangente unitário à gamma, então a variação temporal de w em P satisfaz
dwdt=(vec Tcdotnabla f),dsdt
O conteúdo principal é usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis e a definição de vetor tangente unitário.

Passo 2

Parametrizamos a curva por tmapstol(x(t),y(t),z(t)r). Logo a composição é
w(t)=fl(x(t),y(t),z(t)r)
Pela regra da cadeia temos
dwdt =partial fpartial x,dxdt +partial fpartial y,dydt +partial fpartial z,dzdt
Em notação vetorial, isso é
dwdt =nabla fcdotdvec rdt,
onde vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)).

Passo 3

Por definição, a velocidade escalar ao longo da curva é
dsdt=l|dvec rdtr|
E o vetor tangente unitário é
vec T=1|dvec rdt|,dvec rdt Longrightarrow dvec rdt=vec T,dsdt

Passo 4

Substituindo dvec rdt=vec T,(ds/dt) em dwdt=nabla fcdot(dvec r/dt), obtemos
dwdt =nabla fcdotl(vec T,dsdtr) =(nabla fcdotvec T),dsdt =(vec Tcdotnabla f),dsdt,
que é exatamente o desejado.

Resposta

dwdt=(vec Tcdotnabla f),dsdt

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