Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
3. 52 x^2+4 x y-2 y^4=c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, resolver-la. Aqui notamos que ela pode ser escrita a partir de
Phi(x,y)=52x^2+4xy-2y^4,
pois
dPhi=(5x+4y),dx + (4x-8y^3),dy
Assim identificamos
M(x,y)=5x+4y, N(x,y)=4x-8y^3

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
partial Mpartial y =partialpartial y(5x+4y) =4, partial Npartial x =partialpartial x(4x-8y^3) =4
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter a função potencial Phi(x,y), integramos M em relação a x:
Phi(x,y)=integral (5x+4y),dx =52x^2+4xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Derivamos Phi em relação a y e igualamos a N para determinar h(y):
partial Phipartial y =4x + h'(y) overset!=4x-8y^3 Longrightarrow h'(y)=-8y^3 Longrightarrow h(y)=-2y^4
Portanto
Phi(x,y) =52x^2+4xy-2y^4

Resposta

A equação é exata e sua solução geral está dada implicitamente por
boxed52x^2+4xy-2y^4=C

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