Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
5. x^2 y^2-3 x+4 y=c

Passo 1

O enunciado apresenta a relação
x^2y^2-3x+4y = C
e pede para ver se a equação diferencial implícita
dl(x^2y^2-3x+4yr)=0
é exata. Para isso, vamos identificar as funções
M(x,y) e N(x,y) em
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificar partial M/partial y = partial N/partial x. Se for exata, vamos encontrar a função potencial F(x,y) tal que F(x,y)=C.

Passo 2

Calculamos a diferencial
dl(x^2y^2-3x+4yr) = l(2x y^2-3r),dx + l(2x^2y+4r),dy
Logo,
M(x,y)=2x y^2-3, N(x,y)=2x^2y+4

Passo 3

Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2x y^2-3) =4x y, partial Npartial x = partialpartial x(2x^2y+4) =4x y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial F(x,y) tal que
partial F/partial x = M, integramos M em relação a x:
F(x,y) =integral (2x y^2-3),dx = x^2y^2-3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que depende só de y.

Passo 5

Agora impomos partial F/partial y = N:
partial Fpartial y =2x^2y + h'(y) stackrel!=2x^2y+4 Longrightarrow h'(y)=4 ;;Longrightarrow;; h(y)=4y

Passo 6

Assim, a função potencial fica
F(x,y)=x^2y^2-3x+4y
e a solução geral da equação diferencial é
F(x,y)=C,
ou seja,
x^2y^2-3x+4y = C

Resposta

x^2y^2-3x+4y = C

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