Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
5.
5.
Passo 1
O enunciado apresenta a relação
e pede para ver se a equação diferencial implícita
é exata. Para isso, vamos identificar as funções
e
em
e verificar
. Se for exata, vamos encontrar a função potencial
tal que
.
Passo 2
Calculamos a diferencial
Logo,
Passo 3
Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Para achar a função potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que depende só de
.
Passo 5
Agora impomos
:
Passo 6
Assim, a função potencial fica
e a solução geral da equação diferencial é
ou seja,