1. A temperatura T no ponto (x, y) de uma placa metálica circular com centro na origem vem dada por T(x, y)=4002+x^2+y^2 ^circ C. Qual a direção que se deve tomar a partir do ponto A(1,1) de modo que a temperatura aumente o mais rápido possível e com que velocidade T(x, y) aumenta ao passar pelo ponto A nessa direção?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa circular centrada na origem por
T(x,y)=4002+x^2+y^2
Pede-se (1) a direção em que T aumenta mais rapidamente a partir de A(1,1) e (2) a velocidade desse aumento em A. Para resolver, vamos usar o gradiente de T e a derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de T aplicando a regra do quociente. Seja u(x,y)=400 e v(x,y)=2+x^2+y^2. Então
partial Tpartial x =ux,v - u,vxv^2 =0cdot v - 400cdot(2x)(2+x^2+y^2)^2 =-800x(2+x^2+y^2)^2,
partial Tpartial y =-800y(2+x^2+y^2)^2
Logo o gradiente é
nabla T(x,y) =l(-800x(2+x^2+y^2)^2,,-800y(2+x^2+y^2)^2r)

Passo 3

Em A(1,1) temos 2+x^2+y^2=2+1+1=4 e (2+1+1)^2=16. Logo
nabla T(1,1) =l(-tfrac800cdot116,,-tfrac800cdot116r) =(-50,,-50)

Passo 4

A direção de máximo crescimento é a do próprio gradiente. Normalizando nabla T(1,1), obtemos o vetor unitário
u =nabla T(1,1)|nabla T(1,1)| =(-50,-50)raiz(-50)^2+(-50)^2 =l(-1raiz2,,-1raiz2r)

Passo 5

A velocidade de aumento máxima em A é a derivada direcional na direção u, que equivale ao módulo do gradiente em A:
|nabla T(1,1)| =raiz(-50)^2+(-50)^2 =50raiz2

Resposta

Direção de subida mais rápida: l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r).
Velocidade de aumento nessa direção em A: 50raiz2 ^circC por unidade de comprimento.

Exercícios relacionados