- A temperatura
no ponto
de uma placa metálica circular com centro na origem vem dada por
. Qual a direção que se deve tomar a partir do ponto
de modo que a temperatura aumente o mais rápido possível e com que velocidade
aumenta ao passar pelo ponto
nessa direção?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em cada ponto
de uma placa circular centrada na origem por
Pede-se (1) a direção em que
aumenta mais rapidamente a partir de
e (2) a velocidade desse aumento em
. Para resolver, vamos usar o gradiente de
e a derivada direcional.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
aplicando a regra do quociente. Seja
e
. Então
Logo o gradiente é
Passo 3
Em
temos
e
. Logo
Passo 4
A direção de máximo crescimento é a do próprio gradiente. Normalizando
, obtemos o vetor unitário
Passo 5
A velocidade de aumento máxima em
é a derivada direcional na direção
, que equivale ao módulo do gradiente em
:
Resposta
Direção de subida mais rápida:
.
Velocidade de aumento nessa direção em :
C por unidade de comprimento.
Velocidade de aumento nessa direção em