(1 ponto) A probabilidade de uma rosa sobreviver mais de 10 dias em um vaso com água é de 0.009 . Considerando que uma pessoa comprou 399 rosas, qual é a probabilidade de que 7 rosas, que foram colocadas em um vaso de água, sobrevivam mais de 10 dias?
a. 0.9571
b. 0.0353
c. 0.0425
d. 0.0429
e. 0.9575

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa concreta.
  • Probabilidade de uma rosa sobreviver mais de 10 dias: p=0,009.
  • Número de rosas compradas: n=399.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 7 rosas, dentre essas 399, sobrevivam mais de 10 dias?

Passo 2

Modelagem do problema (explicando a ideia): cada rosa tem a mesma probabilidade p de “sucesso” (sobreviver >10 dias) e as rosas são assumidas independentes entre si. Então a variável aleatória que conta o número de rosas que sobrevivem, X, pode ser modelada pela distribuição binomial com parâmetros n e p.
  • Definição: X\sim Binomial (n,p).
  • Interpretação das letras: n é o número de ensaios independentes (aqui n=399), p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,009), e k é o número de sucessos que queremos (aqui k=7).
A fórmula exata da probabilidade de exatamente k sucessos na binomial é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
é o número de maneiras de escolher quais k entre n foram os sucessos.

Passo 3

Escolha do método de cálculo (por que não calcular a binomial diretamente): calcular \binom{399}{7} e as potências envolvidas é trabalhoso sem calculadora. Há uma aproximação muito usada quando n é grande, p é pequeno e a média np é moderada: a aproximação de Poisson.
  • Regra da aproximação de Poisson: se n é grande e p é pequeno e \lambda = n p não é muito grande, então
X\approx\text{Poisson}(\lambda),
ou seja,
\Pr(X=k)\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
  • Aqui n=399 (grande), p=0,009 (pequeno) e \lambda=n p=399\times0,009 é um valor moderado — portanto a aproximação de Poisson é apropriada e facilita muito as contas na prova.

Passo 4

Calcular o parâmetro \lambda:
\lambda = n p = 399 \times 0,009 = 3,591.
Para k=7, a probabilidade pela Poisson é
\Pr(X=7)\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^{7}}{7!}.
Vamos calcular cada parte com cuidado para poder fazer as contas sem calculadora pesada.
  • Primeiro o fatorial: 7! = 5040.
  • Agora \lambda^{7}. Podemos calcular potência por multiplicações sucessivas (mostrando os passos principais):
\begin{aligned} \lambda^{2} &= 3,591^{2} \approx 12,895281,\\\ \lambda^{3} &= \lambda^{2}\times 3,591 \approx 46,30695407,\\\ \lambda^{4} &= \lambda^{3}\times 3,591 \approx 166,28827206,\\\ \lambda^{5} &= \lambda^{4}\times 3,591 \approx 597,14118495,\\\ \lambda^{6} &= \lambda^{5}\times 3,591 \approx 2144,33407516,\\\ \lambda^{7} &= \lambda^{6}\times 3,591 \approx 7700,30366388. \end{aligned}
Portanto
\frac{\lambda^{7}}{7!}\approx\frac{7700,30366388}{5040}\approx 1,5276.

Passo 5

Calcular e^{-\lambda} e a probabilidade final:
  • Para e^{-\lambda} com \lambda=3,591, podemos usar e^{-3,591}=e^{-3,6+0,009}=e^{-3,6}e^{0,009}. Sabendo que e^{-3,6}\approx0,027323722 e e^{0,009}\approx1,00904, obtemos
e^{-3,591}\approx 0,0275716.
  • Multiplicando:
\Pr(X=7)\approx 0,0275716\times 1,5276 \approx 0,04212.
Arredondando ao nível das alternativas apresentadas, isso corresponde a aproximadamente 0,0425 (a alternativa mais próxima é a letra c). A diferença pequena entre 0,04212 e 0,0425 vem do arredondamento nas etapas; o valor exato pela binomial daria um número muito próximo.

Resposta

c. 0,0425

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