(1 ponto) A probabilidade de uma rosa sobreviver mais de 10 dias em um vaso com água é de 0.009 . Considerando que uma pessoa comprou 399 rosas, qual é a probabilidade de que 7 rosas, que foram colocadas em um vaso de água, sobrevivam mais de 10 dias?
a. 0.9571
b. 0.0353
c. 0.0425
d. 0.0429
e. 0.9575
a. 0.9571
b. 0.0353
c. 0.0425
d. 0.0429
e. 0.9575
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa concreta.
- Probabilidade de uma rosa sobreviver mais de 10 dias:
. - Número de rosas compradas:
. - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
rosas, dentre essas , sobrevivam mais de 10 dias?
Passo 2
Modelagem do problema (explicando a ideia): cada rosa tem a mesma probabilidade
de “sucesso” (sobreviver >10 dias) e as rosas são assumidas independentes entre si. Então a variável aleatória que conta o número de rosas que sobrevivem,
, pode ser modelada pela distribuição binomial com parâmetros
e
.
- Definição:
Binomial . - Interpretação das letras:
é o número de ensaios independentes (aqui ), é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ), e é o número de sucessos que queremos (aqui ).
A fórmula exata da probabilidade de exatamente
sucessos na binomial é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
entre
foram os sucessos.
Passo 3
Escolha do método de cálculo (por que não calcular a binomial diretamente): calcular
e as potências envolvidas é trabalhoso sem calculadora. Há uma aproximação muito usada quando
é grande,
é pequeno e a média
é moderada: a aproximação de Poisson.
- Regra da aproximação de Poisson: se
é grande e é pequeno e não é muito grande, então
ou seja,
- Aqui
(grande), (pequeno) e é um valor moderado — portanto a aproximação de Poisson é apropriada e facilita muito as contas na prova.
Passo 4
Calcular o parâmetro
:
Para
, a probabilidade pela Poisson é
Vamos calcular cada parte com cuidado para poder fazer as contas sem calculadora pesada.
- Primeiro o fatorial:
. - Agora
. Podemos calcular potência por multiplicações sucessivas (mostrando os passos principais):
Portanto
Passo 5
Calcular
e a probabilidade final:
- Para
com , podemos usar . Sabendo que e , obtemos
- Multiplicando:
Arredondando ao nível das alternativas apresentadas, isso corresponde a aproximadamente
(a alternativa mais próxima é a letra c). A diferença pequena entre
e
vem do arredondamento nas etapas; o valor exato pela binomial daria um número muito próximo.
Resposta
c.