(1 ponto) Sofia irá enviar um presente de aniversário para Ricardo e está em dúvida sobre qual transportadora escolher. Ela escolhe a transportadora A com probabilidade 52% e a transportadora B com probabilidade 48 \%. A transportadora A entrega a encomenda no prazo com probabilidade 89 \% e a transportadora B cumpre o prazo com probabilidade 74 \%. Se Ricardo recebeu o presente dentro do prazo, qual a probabilidade de que Sofia tenha escolhido a transportadora A?
a. 0.818
b. 0.890
c. 0.566
d. 0.182
e. 0.434

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Eventos e probabilidades fornecidas:
    • Probabilidade de Sofia escolher a transportadora A: P(A)=0,52.
    • Probabilidade de Sofia escolher a transportadora B: P(B)=0,48.
    • Probabilidade de entrega no prazo dado que escolheu A: P(\text{prazo}\mid A)=0,89.
    • Probabilidade de entrega no prazo dado que escolheu B: P(\text{prazo}\mid B)=0,74.
  • O que o problema pede:
    • Se Ricardo recebeu o presente dentro do prazo, qual a probabilidade de que Sofia tenha escolhido a transportadora A, ou seja, calcular P(A\mid \text{prazo}).

Passo 2

Entendendo as ferramentas que vamos usar (explicação didática).
  • A probabilidade condicional P(X\mid Y) é a probabilidade de X ocorrer sabendo que Y ocorreu.
  • A regra da probabilidade total (quando um evento pode ocorrer por caminhos mutuamente exclusivos) diz:
P(\text{prazo}) = P(A)\,P(\text{prazo}\mid A) + P(B)\,P(\text{prazo}\mid B).
Isto soma as contribuições de cada transportadora para o evento “entrega no prazo”.
  • O Teorema de Bayes (que é o que precisamos para inverter a condicional) diz:
P(A\mid \text{prazo}) = \frac{P(A)\,P(\text{prazo}\mid A)}{P(\text{prazo})}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular P(\text{prazo}) usando a regra da probabilidade total.
  • Primeiro calculemos os termos:
    • P(A)\,P(\text{prazo}\mid A)=0,52\cdot0,89.
    • P(B)\,P(\text{prazo}\mid B)=0,48\cdot0,74.
  • Fazendo as multiplicações:
    • 0,52\cdot0,89=0,4628.
    • 0,48\cdot0,74=0,3552.
  • Somando:
P(\text{prazo}) = 0,4628 + 0,3552 = 0,818.

Passo 4

Calcular P(A\mid \text{prazo}) aplicando o Teorema de Bayes.
  • Escrevendo a fórmula:
P(A\mid \text{prazo}) = \frac{P(A)\,P(\text{prazo}\mid A)}{P(\text{prazo})}.
  • Substituindo os números:
P(A\mid \text{prazo}) = \frac{0,4628}{0,818}.

Passo 5

Simplificação exata (opcional, útil para verificar):
  • Podemos reescrever as probabilidades iniciais como frações:
    • P(A)=\dfrac{13}{25}, P(B)=\dfrac{12}{25}, P(\text{prazo}\mid A)=\dfrac{89}{100}, P(\text{prazo}\mid B)=\dfrac{74}{100}.
  • Então o numerador vira \dfrac{13}{25}\cdot\dfrac{89}{100}=\dfrac{1157}{2500}.
  • E P(\text{prazo})=\dfrac{1157}{2500}+\dfrac{888}{2500}=\dfrac{2045}{2500}.
  • A razão fica:
P(A\mid \text{prazo}) = \frac{1157/2500}{2045/2500} = \frac{1157}{2045}.

Passo 6

Converter a fração para decimal e arredondar de forma prática (como faria na prova sem calculadora, estimando e verificando).
  • Observação por aproximação:
    • 2045\cdot0,565 = 1155{,}425 (um pouco menor que 1157).
    • 2045\cdot0,566 = 1157{,}47 (um pouco maior que 1157).
  • Portanto \dfrac{1157}{2045} está entre 0,565 e 0,566.
  • Arredondando a três casas decimais obtemos 0,566.

Passo 7

Interpretação final e escolha entre as alternativas:
  • O valor calculado é aproximadamente P(A\mid \text{prazo})\approx0,566.
  • Entre as alternativas dadas, a que corresponde a esse valor é a alternativa (c).

Resposta

c. 0,566

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