(1 ponto) Sofia irá enviar um presente de aniversário para Ricardo e está em dúvida sobre qual transportadora escolher. Ela escolhe a transportadora A com probabilidade 52% e a transportadora B com probabilidade
. A transportadora A entrega a encomenda no prazo com probabilidade
e a transportadora B cumpre o prazo com probabilidade
. Se Ricardo recebeu o presente dentro do prazo, qual a probabilidade de que Sofia tenha escolhido a transportadora A?
a. 0.818
b. 0.890
c. 0.566
d. 0.182
e. 0.434
a. 0.818
b. 0.890
c. 0.566
d. 0.182
e. 0.434
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Eventos e probabilidades fornecidas:
- Probabilidade de Sofia escolher a transportadora A:
. - Probabilidade de Sofia escolher a transportadora B:
. - Probabilidade de entrega no prazo dado que escolheu A:
. - Probabilidade de entrega no prazo dado que escolheu B:
.
- Probabilidade de Sofia escolher a transportadora A:
-
O que o problema pede:
- Se Ricardo recebeu o presente dentro do prazo, qual a probabilidade de que Sofia tenha escolhido a transportadora A, ou seja, calcular
.
- Se Ricardo recebeu o presente dentro do prazo, qual a probabilidade de que Sofia tenha escolhido a transportadora A, ou seja, calcular
Passo 2
Entendendo as ferramentas que vamos usar (explicação didática).
- A probabilidade condicional
é a probabilidade de ocorrer sabendo que ocorreu. - A regra da probabilidade total (quando um evento pode ocorrer por caminhos mutuamente exclusivos) diz:
Isto soma as contribuições de cada transportadora para o evento “entrega no prazo”.
- O Teorema de Bayes (que é o que precisamos para inverter a condicional) diz:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular
usando a regra da probabilidade total.
- Primeiro calculemos os termos:
-
. -
.
-
- Fazendo as multiplicações:
-
. -
.
-
- Somando:
Passo 4
Calcular
aplicando o Teorema de Bayes.
- Escrevendo a fórmula:
- Substituindo os números:
Passo 5
Simplificação exata (opcional, útil para verificar):
- Podemos reescrever as probabilidades iniciais como frações:
-
, , , .
-
- Então o numerador vira
. - E
. - A razão fica:
Passo 6
Converter a fração para decimal e arredondar de forma prática (como faria na prova sem calculadora, estimando e verificando).
- Observação por aproximação:
-
(um pouco menor que ). -
(um pouco maior que ).
-
- Portanto
está entre e . - Arredondando a três casas decimais obtemos
.
Passo 7
Interpretação final e escolha entre as alternativas:
- O valor calculado é aproximadamente
. - Entre as alternativas dadas, a que corresponde a esse valor é a alternativa (c).
Resposta
c.