(1 ponto) Quantos números entre 1 e 15 são divisíveis por 2 ou por 3 ?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números no conjunto \{1,2,\dots,15\} são divisíveis por 2 ou por 3. Vamos usar o princípio da inclusão–exclusão, que diz que
\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B),
onde A é o conjunto de múltiplos de 2 e B o de múltiplos de 3.

Passo 2

Contamos os múltiplos de 2 em \{1,\dots,15\}. Como o maior múltiplo de 2 até 15 é 14, temos
\#A=\Bigl\lfloor\frac{15}{2}\Bigr\rfloor=7.

Passo 3

Agora contamos os múltiplos de 3 em \{1,\dots,15\}. O maior múltiplo de 3 até 15 é 15, então
\#B=\Bigl\lfloor\frac{15}{3}\Bigr\rfloor=5.

Passo 4

Precisamos dos números que são múltiplos de 2 e de 3 ao mesmo tempo, ou seja, múltiplos de \mathrm{lcm}(2,3)=6. O maior múltiplo de 6 até 15 é 12, logo
\#(A\cap B)=\Bigl\lfloor\frac{15}{6}\Bigr\rfloor=2.

Passo 5

Aplicando inclusão–exclusão, o total de números divisíveis por 2 ou por 3 é
\#(A\cup B)=7+5-2=10.

Resposta

São 10 números entre 1 e 15 divisíveis por 2 ou por 3.

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