(1,0 ponto) Resolva as seguintes equações, se possível:
(d) x(x+1)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação (se possível). A equação dada é
x(x+1)=-1.
O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir e colocar a equação na forma polinomial padrão (tudo no mesmo lado, igual a zero). Expandindo o produto do lado esquerdo:
x(x+1)=x^2+x.
Passando -1 para o lado esquerdo obtemos
x^2+x+1=0.

Passo 3

Para resolver uma equação do tipo \,ax^2+bx+c=0, uma ferramenta muito usada é a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Ela dá as raízes em função dos coeficientes a, b e c:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui:
  • a é o coeficiente de x^2,
  • b é o coeficiente de x,
  • c é o termo constante.
    O discriminante é definido por \Delta=b^2-4ac. O sinal de \Delta determina a natureza das raízes:
  • se \Delta>0 há duas raízes reais distintas;
  • se \Delta=0 há uma raiz real dupla;
  • se \Delta<0 não há raízes reais, mas há duas raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Identificamos os coeficientes na nossa equação \,x^2+x+1=0:
a=1,\qquad b=1,\qquad c=1.
Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.
Como \Delta=-3<0, não existem raízes reais; existem duas raízes complexas conjugadas.

Passo 5

Aplicando a fórmula quadrática com \Delta=-3:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}.
Lembrando que \sqrt{-3}=i\sqrt{3}, onde i é a unidade imaginária ( i^2=-1), obtemos
x=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

(Faça uma verificação rápida por completação do quadrado, se gostar de outra visão:) Reescrevendo
x^2+x+1=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^2+\tfrac{3}{4}=0.
Isso leva a
\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^2=-\tfrac{3}{4},
daí
x+\tfrac{1}{2}=\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}
e portanto
x=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle x=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
\displaystyle x=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}

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