(1 ponto) O SAC de uma empresa recebe, em média, 79 ligações por dia em horário comercial. A fim de estimar o número adequado de atendentes para trabalhar nesses horários, a empresa deseja estimar a probabilidade de receber mais do que 100 ligações em um único dia no horário comercial. Seja X o número de ligações em um determinado dia, qual das distribuições de probabilidade seria adequada para modelar a variável aleatória X ?
a. Poisson(79)
b. Poisson(100)
c. Binomial(0.5, 79)
d. Binomial(0.5, 100)
e. Geométrica(79/100)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O que o enunciado dá:
    • A média de ligações por dia (em horário comercial) é 79.
    • A variável aleatória X é o número de ligações recebidas em um dia (um número inteiro não-negativo).
    • São apresentadas as alternativas de distribuição para X: Poisson com parâmetro 79, Poisson com parâmetro 100, duas opções de binomial com 0{,}5 e 79 ou 100, e geométrica com parâmetro 79/100.
  • O que o enunciado pede:
    • Escolher qual das distribuições listadas é adequada para modelar X, o número de ligações em um dia, de modo a permitir, por exemplo, estimar a probabilidade de X>100.

Passo 2

Como decidir qual distribuição usar — ideias básicas (sem resolver ainda): a escolha da distribuição depende do tipo da variável e da informação que se tem.
  • A variável X é uma contagem de eventos (ligações) ocorrendo em um intervalo de tempo fixo (um dia). Contagens por unidade de tempo muitas vezes são modeladas por Poisson quando:
    • o número médio de eventos por intervalo é conhecido (aqui é 79),
    • os eventos ocorrem independentemente,
    • a taxa média por unidade de tempo é aproximadamente constante durante o intervalo considerado,
    • não há um número fixo pré-estabelecido de “tentativas” como no modelo binomial.
Vou explicar as distribuições candidatas e verificar qual se ajusta melhor a essa descrição.

Passo 3

Poisson: definição e propriedades úteis.
  • Definição: se X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0, escreve-se X\simPoisson (\lambda) e
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
  • Interpretação de \lambda: \lambda é a média (valor esperado) e também a variância:
E[X]=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(X)=\lambda.
  • Quando usar: modela contagens em um intervalo quando a média por intervalo é conhecida e eventos são independentes e raros por unidade pequena de tempo/espaço. É exatamente o caso típico de “número de ligações por dia” quando só se conhece a média diária.
No problema foi dado que a média é 79. Para a Poisson essa média é \lambda. Portanto a Poisson apropriada seria Poisson (\lambda=79).

Passo 4

Por que as outras alternativas não são adequadas (explicando cada uma):
  • Poisson (100): teria E[X]=100. Mas o enunciado diz que a média observada é 79. Como a Poisson usa a média como parâmetro, Poisson (100) não corresponde aos dados (parâmetro errado).
  • Binomial: lembre que a distribuição binomial é usada quando existem n tentativas independentes e cada tentativa tem probabilidade p de “sucesso”. Escrevendo a media,
E[X]=n p.
  • Se a alternativa c significar Binomial com n=79 e p=0{,}5, então E[X]=79\times0{,}5=39{,}5, muito diferente de 79.
  • Se a alternativa d significar Binomial com n=100 e p=0{,}5, então E[X]=100\times0{,}5=50, também diferente de 79.
  • Além disso, usar binomial exigiria um número fixo de tentativas n previamente definido (por exemplo, “100 clientes telefonaram e cada um, com probabilidade p, efetua uma chamada”), o que não é o caso natural aqui: o número de ligações por dia não vem de um conjunto pré-fixado de “tentativas” com probabilidade 0{,}5 de sucesso. Por isso o modelo binomial não é apropriado.
  • Geométrica (79/100): a distribuição geométrica modela o número de tentativas até o primeiro sucesso, com parâmetro p sendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa. Seu valor esperado é
E[X]=\frac{1}{p}.
  • Se p=79/100, então E[X]=\dfrac{1}{79/100}=\dfrac{100}{79}\approx1{,}27, muito longe da média 79. Além disso, geometric não modela “quantas ligações num dia” (uma contagem de eventos num intervalo), mas sim o número de tentativas até um evento; portanto não faz sentido aqui.

Passo 5

Conclusão pedagogicamente: a melhor escolha é o modelo de Poisson cujo parâmetro \lambda iguala-se à média observada de ligações por dia. O enunciado deu a média 79; isso corresponde exatamente a Poisson (79). As outras opções têm médias incompatíveis ou pressupostos (número fixo de tentativas, modelo de “até o primeiro sucesso”) que não batem com a situação descrita.
Força aí — na prova marque a alternativa que associa a média à Poisson com \lambda=79.

Resposta

a. Poisson(79)

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