(1 ponto) O SAC de uma empresa recebe, em média, 79 ligações por dia em horário comercial. A fim de estimar o número adequado de atendentes para trabalhar nesses horários, a empresa deseja estimar a probabilidade de receber mais do que 100 ligações em um único dia no horário comercial. Seja
o número de ligações em um determinado dia, qual das distribuições de probabilidade seria adequada para modelar a variável aleatória
?
a. Poisson(79)
b. Poisson(100)
c. Binomial(0.5, 79)
d. Binomial(0.5, 100)
e. Geométrica(79/100)
a. Poisson(79)
b. Poisson(100)
c. Binomial(0.5, 79)
d. Binomial(0.5, 100)
e. Geométrica(79/100)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
O que o enunciado dá:
- A média de ligações por dia (em horário comercial) é
. - A variável aleatória
é o número de ligações recebidas em um dia (um número inteiro não-negativo). - São apresentadas as alternativas de distribuição para
: Poisson com parâmetro , Poisson com parâmetro , duas opções de binomial com e ou , e geométrica com parâmetro .
- A média de ligações por dia (em horário comercial) é
-
O que o enunciado pede:
- Escolher qual das distribuições listadas é adequada para modelar
, o número de ligações em um dia, de modo a permitir, por exemplo, estimar a probabilidade de .
- Escolher qual das distribuições listadas é adequada para modelar
Passo 2
Como decidir qual distribuição usar — ideias básicas (sem resolver ainda): a escolha da distribuição depende do tipo da variável e da informação que se tem.
- A variável
é uma contagem de eventos (ligações) ocorrendo em um intervalo de tempo fixo (um dia). Contagens por unidade de tempo muitas vezes são modeladas por Poisson quando: - o número médio de eventos por intervalo é conhecido (aqui é
), - os eventos ocorrem independentemente,
- a taxa média por unidade de tempo é aproximadamente constante durante o intervalo considerado,
- não há um número fixo pré-estabelecido de “tentativas” como no modelo binomial.
- o número médio de eventos por intervalo é conhecido (aqui é
Vou explicar as distribuições candidatas e verificar qual se ajusta melhor a essa descrição.
Passo 3
Poisson: definição e propriedades úteis.
- Definição: se
tem distribuição de Poisson com parâmetro , escreve-se Poisson e
- Interpretação de
: é a média (valor esperado) e também a variância:
- Quando usar: modela contagens em um intervalo quando a média por intervalo é conhecida e eventos são independentes e raros por unidade pequena de tempo/espaço. É exatamente o caso típico de “número de ligações por dia” quando só se conhece a média diária.
No problema foi dado que a média é
. Para a Poisson essa média é
. Portanto a Poisson apropriada seria Poisson
.
Passo 4
Por que as outras alternativas não são adequadas (explicando cada uma):
-
Poisson
: teria . Mas o enunciado diz que a média observada é . Como a Poisson usa a média como parâmetro, Poisson não corresponde aos dados (parâmetro errado). -
Binomial: lembre que a distribuição binomial é usada quando existem
tentativas independentes e cada tentativa tem probabilidade de “sucesso”. Escrevendo a media,
-
Se a alternativa c significar Binomial com
e , então , muito diferente de . -
Se a alternativa d significar Binomial com
e , então , também diferente de . -
Além disso, usar binomial exigiria um número fixo de tentativas
previamente definido (por exemplo, “100 clientes telefonaram e cada um, com probabilidade , efetua uma chamada”), o que não é o caso natural aqui: o número de ligações por dia não vem de um conjunto pré-fixado de “tentativas” com probabilidade de sucesso. Por isso o modelo binomial não é apropriado. -
Geométrica
: a distribuição geométrica modela o número de tentativas até o primeiro sucesso, com parâmetro sendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa. Seu valor esperado é
- Se
, então , muito longe da média . Além disso, geometric não modela “quantas ligações num dia” (uma contagem de eventos num intervalo), mas sim o número de tentativas até um evento; portanto não faz sentido aqui.
Passo 5
Conclusão pedagogicamente: a melhor escolha é o modelo de Poisson cujo parâmetro
iguala-se à média observada de ligações por dia. O enunciado deu a média
; isso corresponde exatamente a Poisson
. As outras opções têm médias incompatíveis ou pressupostos (número fixo de tentativas, modelo de “até o primeiro sucesso”) que não batem com a situação descrita.
Força aí — na prova marque a alternativa que associa a média à Poisson com
.
Resposta
a. Poisson(79)