Um telhado plano metálico pode ser modelado inicialmente como uma placa plana, isolada na parte inferior e exposta à luz solar. Se o fluxo de calor irradiado pelo sol for 600 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}(\alpha=1), o coeficiente de transferência de calor por convecção entre o telhado e o ar for de 12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura da superfície do telhado igual 27^{\circ} \mathrm{C}, determine a temperatura do ar atmosférico, considerando que o telhado tem emissividade igual a 1 e a temperatura da vizinhança igual a 20^{\circ} \mathrm{C}.
Resposta: \mathrm{T} \infty=-19,55^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O telhado plano metálico, isolado na face inferior, recebe irradiância solar de \dot q_{\rm solar}=600\\ \mathrm{W/m^2} (absorvidade \alpha=1), tem temperatura superficial T_s=27^\circ\mathrm C e coeficiente convectivo h=12\\ \mathrm{W/m^2K}. A emissividade é \epsilon=1 e o entorno radia a T_{\rm viz}=20^\circ\mathrm C. Em regime permanente, usaremos o balanço de energia para determinar a temperatura do ar T_\infty.

Passo 2

Converter as temperaturas para Kelvin e anotar a constante de Stefan–Boltzmann:
T_s=27^\circ\mathrm C=300\\ \mathrm K,
T_{\rm viz}=20^\circ\mathrm C=293\\ \mathrm K,
\sigma=5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4}.

Passo 3

Calcular o fluxo radiativo emitido pela superfície para o entorno:
\dot q_{\rm rad} =\epsilon\,\sigma\bigl(T_s^4 - T_{\rm viz}^4\bigr) =1\times5{,}67\times10^{-8}\bigl(300^4-293^4\bigr)\\ \mathrm{W/m^2}.
Numericamente:
300^4=8{,}10\times10^9,\quad293^4\approx7{,}3686\times10^9
\dot q_{\rm rad}\approx5{,}67\times10^{-8}\times0{,}7314\times10^9\approx41{,}5\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Escrever o balanço de energia na face exposta:
\dot q_{\rm solar} =\dot q_{\rm conv}+\dot q_{\rm rad},
onde o fluxo convectivo é
\dot q_{\rm conv}=h\,(T_s-T_\infty).
Logo
h\,(T_s-T_\infty) =\dot q_{\rm solar}-\dot q_{\rm rad} =600 - 41{,}5 = 558{,}5\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Isolar T_\infty:
T_s-T_\infty=\frac{558{,}5}{12}\approx46{,}54 \quad\Rightarrow\quad T_\infty=27 - 46{,}54\approx-19{,}54^\circ\mathrm C.

Resposta

A temperatura do ar é aproximadamente -19,55^\circ\mathrm C.

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