( 1,6 pontos) Resolva o sistema linear dado através do escalonamento da matriz aumentada. Se o sistema tiver mais de uma solução, então descreva o seu conjunto solução na forma vetorial paramétrica e interprete geometricamente o conjunto solução.
-3 x+4 y+8 z & =0 -2 x+5 y+4 z & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o escalonamento da matriz aumentada. O que isso significa? Basicamente, vamos organizar as equações em uma matriz e usar operações de linha para simplificar até encontrarmos as soluções. Aqui, vamos precisar entender como montar a matriz aumentada e aplicar operações básicas de linha para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Temos duas equações:
-3x + 4y + 8z = 0 -2x + 5y + 4z = 0
A matriz aumentada fica assim:
-3 & 4 & 8 & | & 0 -2 & 5 & 4 & | & 0

Passo 3

Agora, nosso objetivo é criar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos manipular as linhas. Vou chamar a primeira linha de L1 e a segunda de L2.
Primeiro, vamos multiplicar a L1 por 23 e somar com a L2 para eliminar o x da segunda equação.
Nova L2 = ( 23 times L1 ) + L2
Calculando:
23 times (-3) = -2, 23 times 4 = 83, 23 times 8 = 163, 23 times 0 = 0
Somando com L2:
-2 + (-2) = -4 83 + 5 = 233 163 + 4 = 283 0 + 0 = 0
Então, a nova matriz fica:
-3 & 4 & 8 & | & 0 0 & 233 & 283 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha multiplicando por 323 para facilitar os cálculos:
Nova L2 = 323 times L2
Isso dá:
0 times 323 = 0 233 times 323 = 1 283 times 323 = 2823 0 times 323 = 0
Então, a matriz fica:
-3 & 4 & 8 & | & 0 0 & 1 & 2823 & | & 0

Passo 5

Agora, queremos eliminar o y da primeira equação. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por 4 e somar com a primeira linha:
Nova L1 = L1 - 4 times L2
Calculando:
-3 - 4 times 0 = -3 4 - 4 times 1 = 0 8 - 4 times 2823 = 8 - 11223 = 18423 - 11223 = 7223 0 - 4 times 0 = 0
Então, a matriz fica:
-3 & 0 & 7223 & | & 0 0 & 1 & 2823 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos simplificar a primeira linha dividindo por -3 para isolar o x :
Nova L1 = 1-3 times L1
Isso resulta em:
-3 times 1-3 = 1 0 times 1-3 = 0 7223 times 1-3 = -2423 0 times 1-3 = 0
Então, a matriz fica:
1 & 0 & -2423 & | & 0 0 & 1 & 2823 & | & 0

Passo 7

Agora, temos a matriz na forma escalonada reduzida. Isso nos dá as equações:
x - 2423 z = 0 y + 2823 z = 0
Podemos expressar x e y em termos de z :
x = 2423 z y = -2823 z

Resposta

O conjunto solução é todo vetor da forma:
x y z = z cdot 2423 -2823 1 , z in R
Geometricamente, isso representa uma reta no espaço tridimensional R^3 .

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