(0,4 ponto) Simplifique a expressão \operatorname{sen}(9 \pi-x)+\operatorname{sen}(5 \pi-x)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma \sin(9\pi - x) + \sin(5\pi - x).
Vamos usar a identidade de diferença \sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b
e as relações \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n para n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Calcular \sin(9\pi - x) via a identidade de diferença:
\sin(9\pi - x) = \sin(9\pi)\cos x - \cos(9\pi)\sin x.
Como \sin(9\pi)=0 e \cos(9\pi)=(-1)^9=-1, vem
\sin(9\pi - x) = 0\cdot\cos x - (-1)\cdot\sin x = \sin x.

Passo 3

Calcular \sin(5\pi - x) do mesmo modo:
\sin(5\pi - x) = \sin(5\pi)\cos x - \cos(5\pi)\sin x.
Como \sin(5\pi)=0 e \cos(5\pi)=(-1)^5=-1, segue
\sin(5\pi - x) = 0\cdot\cos x - (-1)\cdot\sin x = \sin x.

Passo 4

Somando os resultados:
\sin(9\pi - x) + \sin(5\pi - x) = \sin x + \sin x = 2\sin x.

Resposta

2\sin x

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