Em que ponto a tangente à parábola y=x^2+7 x+3 é paralela à recta 5 x+y-3=0.

Passo 1

Temos a parábola y = x^2 + 7x + 3 e a reta 5x + y - 3 = 0. Queremos achar o ponto em que a tangente à parábola é paralela a essa reta. Para isso, precisamos calcular a derivada da parábola (que dá o coeficiente angular da tangente) e igualá-la ao coeficiente angular da reta.

Passo 2

Calculamos a derivada de y(x). Como y = x^2 + 7x + 3, temos dydx = 2x + 7.

Passo 3

Reescrevemos a reta na forma explícita y = mx + b para identificar seu coeficiente angular. A partir de 5x + y - 3 = 0 vem y = -5x + 3, logo o coeficiente angular é -5.

Passo 4

Para que a tangente seja paralela à reta, igualamos 2x + 7 a -5 e resolvemos para x.
2x + 7 = -5 implies 2x = -12 implies x = -6

Passo 5

Substituímos x = -6 na equação da parábola para encontrar y.
y(-6) = (-6)^2 + 7(-6) + 3 = 36 - 42 + 3 = -3

Resposta

(-6, -3)

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