Questão 3) (Valor: 3,6 pontos) Calcule os limites a seguir.
c) lim x 1 x^5-1x^4-1

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1x^5-1x^4-1
Como ao substituir x=1 obtemos tfrac00, vamos usar a fatoração de diferenças de potências para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
1^5-1=0, 1^4-1=0 Longrightarrow 00
Isso mostra que podemos fatorar x^5-1 e x^4-1 pelo fator comum x-1.

Passo 3

Aplicando a identidade
x^n - 1 = (x-1)l(x^n-1 + x^n-2 + cdots + 1r),
temos
x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1),
x^4 - 1 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 4

Cancelamos o fator (x-1) (válido para xneq1) e obtemos
x^5 - 1x^4 - 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1x^3 + x^2 + x + 1

Passo 5

Agora substituímos x=1 na expressão simplificada, sem indeterminação:
1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 11^3 + 1^2 + 1 + 1 = 54

Resposta

54

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