( 1,0 - ponto) Tirando, ao acaso, 5 cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de saírem exatamente 3 valetes?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a probabilidade de, ao tirar ao acaso
cartas de um baralho de
cartas (sem reposição), saírem exatamente
valetes. Informações relevantes fornecidas e que vamos usar:
- Total de cartas no baralho:
. - Número de cartas tiradas:
. - Queremos exatamente
valetes entre as cartas. - Número de valetes no baralho:
. - Número de cartas que não são valetes:
.
Passo 2
Raciocínio de contagem (ideia geral, sem cálculos ainda): como todas as mãos de
cartas são igualmente prováveis, a probabilidade pedida é
Para contar mãos usamos a ideia de “combinações” (escolhas sem ordem), porque a ordem em que as cartas saem não interessa.
Passo 3
Explicação didática sobre combinações: a quantidade de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
(sem considerar ordem) é o coeficiente binomial
onde
(fatorial) significa
. Por exemplo,
conta de quantas formas escolho
coisas entre
;
conta de quantas formas escolho
cartas não-valete entre as
disponíveis;
é o total de mãos de
cartas.
Passo 4
Contando as mãos favoráveis: para ter exatamente
valetes, escolhemos
valetes entre os
e, ao mesmo tempo, escolhemos
cartas que não são valetes entre as
. Portanto o número de mãos favoráveis é
Calculemos cada combinação passo a passo:
Multiplicando,
Passo 5
Contando o total de mãos de
cartas: é
Para simplificar sem fazer multiplicações enormes, fazemos cancelamentos inteligentes:
Então
Agora calculamos passo a passo:
,
,
,
.
Portanto
Portanto
Passo 6
Agora a probabilidade é
Vamos simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por
:
Dividindo ambos por
:
O máximo divisor comum entre
e
é
, então a fração está reduzida. Em forma decimal e percentual:
o que em porcentagem é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação final curta e motivadora: saiu muito raro — cerca de
. Isso significa que, em média, entre cerca de
mãos de
cartas apenas uma terá exatamente
valetes (pois
). Vá com calma que essa é a intuição estatística por trás do número!