( 1,0 - ponto) Tirando, ao acaso, 5 cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de saírem exatamente 3 valetes?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a probabilidade de, ao tirar ao acaso 5 cartas de um baralho de 52 cartas (sem reposição), saírem exatamente 3 valetes. Informações relevantes fornecidas e que vamos usar:
  • Total de cartas no baralho: 52.
  • Número de cartas tiradas: 5.
  • Queremos exatamente 3 valetes entre as 5 cartas.
  • Número de valetes no baralho: 4.
  • Número de cartas que não são valetes: 52-4=48.

Passo 2

Raciocínio de contagem (ideia geral, sem cálculos ainda): como todas as mãos de 5 cartas são igualmente prováveis, a probabilidade pedida é
\text{probabilidade}=\frac{\text{nº de mãos favoráveis}}{\text{nº total de mãos de 5 cartas}}.ºãáºã
Para contar mãos usamos a ideia de “combinações” (escolhas sem ordem), porque a ordem em que as cartas saem não interessa.

Passo 3

Explicação didática sobre combinações: a quantidade de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n (sem considerar ordem) é o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Por exemplo, \binom{4}{3} conta de quantas formas escolho 3 coisas entre 4; \binom{48}{2} conta de quantas formas escolho 2 cartas não-valete entre as 48 disponíveis; \binom{52}{5} é o total de mãos de 5 cartas.

Passo 4

Contando as mãos favoráveis: para ter exatamente 3 valetes, escolhemos 3 valetes entre os 4 e, ao mesmo tempo, escolhemos 2 cartas que não são valetes entre as 48. Portanto o número de mãos favoráveis é
\binom{4}{3}\cdot\binom{48}{2}.
Calculemos cada combinação passo a passo:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!1!}=4.
\binom{48}{2}=\frac{48\cdot47}{2}=24\cdot47=1128.
Multiplicando,
\text{mãos favoráveis}=4\cdot1128=4512.ãá

Passo 5

Contando o total de mãos de 5 cartas: é
\binom{52}{5}=\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Para simplificar sem fazer multiplicações enormes, fazemos cancelamentos inteligentes:
50\div5=10,\quad 51\div3=17,\quad 52\div4=13,\quad 48\div2=24.
Então
\binom{52}{5}=13\cdot17\cdot10\cdot49\cdot24.
Agora calculamos passo a passo:
13\cdot17=221,
221\cdot10=2210,
2210\cdot49=2210\cdot(50-1)=110500-2210=108290,
108290\cdot24=108290\cdot(25-1)=2\,707\,250-108290=2\,598\,960.
Portanto
\binom{52}{5}=2\,598\,960.

Passo 6

Agora a probabilidade é
\text{probabilidade}=\frac{4512}{2\,598\,960}.
Vamos simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por 24:
\frac{4512}{2\,598\,960}=\frac{188}{108\,290}.
Dividindo ambos por 2:
\frac{188}{108\,290}=\frac{94}{54\,145}.
O máximo divisor comum entre 94 e 54\,145 é 1, então a fração está reduzida. Em forma decimal e percentual:
\frac{94}{54\,145}\approx0{,}001736\quad\text{(aproximadamente)},
o que em porcentagem é aproximadamente 0{,}1736\%.

Passo 7

Interpretação final curta e motivadora: saiu muito raro — cerca de 0{,}17\%. Isso significa que, em média, entre cerca de 576 mãos de 5 cartas apenas uma terá exatamente 3 valetes (pois 1/0{,}001736\approx576). Vá com calma que essa é a intuição estatística por trás do número!

Resposta

\displaystyle \frac{\binom{4}{3}\binom{48}{2}}{\binom{52}{5}}=\frac{4512}{2598960}=\frac{94}{54145}\approx0{,}001736\approx0{,}1736\%

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