(2,0 pontos) Usando substituição, encontre a integral indefinida \int 3 x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 3x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx
usando substituição. O conteúdo aqui é a técnica de mudança de variável para transformar a integral numa forma mais simples, aproveitando que a derivada de x^3+1 é 3x^2.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^3 + 1.
Calculamos diferencial de u:
du = 3x^2\,dx.
Logo 3x^2\,dx = du, e a integral fica
\int 3x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx = \int \sqrt{u}\,du.

Passo 3

Agora integramos em termos de u. Escrevendo \sqrt{u} = u^{1/2}, temos
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u = x^3+1:
\frac{2}{3}\,u^{3/2} + C = \frac{2}{3}\,(x^3+1)^{3/2} + C.

Resposta

\frac{2}{3}\,(x^3+1)^{3/2} + C

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