1- Seja um fio elétrico longo de raio a=1 \mathrm{~cm}, que transporta uma corrente \mathrm{I}(\mathrm{r})=\mathrm{C} . \mathrm{r}, onde \mathrm{C}=1 \mathrm{~A} / \mathrm{m} e r é a distância radial ao centro do fio. Utilizando a lei de Ampère:
a) Ache a expressão da dependência do campo magnético com r para r<a.
b) Ache a expressão da dependência do campo magnético com r para r>a.

Passo 1

Temos um fio cilíndrico longo de raio a=1\text{ cm} em que a corrente total interna até raio r é dada por
I(r)=C\,r,
com C=1\text{ A/m}. Queremos o campo magnético B(r) usando a lei de Ampère:
\oint B\cdot dl=\mu_{0}I_{\text{enc}}.
Devido à simetria cilíndrica, o campo é azimutal \hat\varphi e depende só de r.

Passo 2

Para r<a a corrente encerrada é I_{\text{enc}}=I(r)=C\,r. O caminho amperiano é um círculo de raio r, então
\oint B\cdot dl = B(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,C\,r.
Isolando B(r),
B(r) = \frac{\mu_{0}\,C\,r}{2\pi r} = \frac{\mu_{0}\,C}{2\pi} \quad\text{para }r<a,
no sentido \hat\varphi.

Passo 3

Para r>a toda a corrente do fio está dentro do raio r, então I_{\text{enc}}=I(a)=C\,a. Aplicando Ampère:
B(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,C\,a \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_{0}\,C\,a}{2\pi\,r} \quad\text{para }r>a,
também dirigindo-se em \hat\varphi.

Resposta

Para r<a:
B(r)=\frac{\mu_{0}\,C}{2\pi}\,\hat\varphi.
Para r>a:
B(r)=\frac{\mu_{0}\,C\,a}{2\pi\,r}\,\hat\varphi.

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