(1 ponto) Utilizando as regras de derivação e a tabela acima, calcule as derivadas das seguintes funções:
h(x)=e^2 x cos x.

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso entra no conteúdo de derivação, especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de aplicar essas regras juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é o produto de duas funções: e . Quando temos uma função que é o produto de duas outras, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos derivar u'(x) = e^2x cdot 2 = 2e^2x . Aqui usamos a regra da cadeia porque a função exponencial tem um expoente que não é apenas . A derivada de é . Então, para , a derivada . Assim:

Passo 4

Agora, vamos derivar v'(x) = -sin x . A derivada de é . Então:

Passo 5

Aplicando a regra do produto, juntamos as derivadas de h'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) e h'(x) = 2e^2x cdot cos x + e^2x cdot (-sin x) :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão combinando os termos:
h'(x) = 2e^2x cos x - e^2x sin x
Ou, fatorando h'(x) = e^2x (2 cos x - sin x) :

Resposta

A derivada da função é:
h'(x) = 2e^2x cos x - e^2x sin x

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