Resolva as questões:
(a) Com os dígitos
, quantos arranjos desses digitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4?
(a) Com os dígitos
Passo 1
O enunciado pede: com os dígitos
, quantos arranjos (ou seja, sequências de 4 dígitos sem repetição, onde a ordem importa) de 4 a 4 têm o dígito
antes do dígito
?\n
Informações dadas e condições relevantes:
Informações dadas e condições relevantes:
Passo 2
Primeiro vamos entender quantos arranjos de 4 dígitos podemos formar no total a partir de 6 dígitos, sem restrição. A fórmula para arranjos (permutações) sem repetição é
onde
é o total de elementos e
o tamanho do arranjo. Aqui
e
, então
Isso significa que existem
arranjos possíveis de 4 dígitos escolhidos dentre os 6, se não impormos mais condições.
Passo 3
Agora vamos contar quantos desses arranjos contêm ambos os dígitos
e
. Para isso:
- Escolhemos os outros
dígitos (além de e ) a partir dos dígitos restantes . O número de escolhas é
- Para cada escolha de um conjunto de 4 dígitos que inclui
e , podemos permutar esses 4 dígitos de formas. Portanto o número de arranjos que incluem ambos e é
(Explicação didática:
conta quais outros dois dígitos vamos usar; depois para cada conjunto fixo de 4 dígitos existem
ordens possíveis.)
Passo 4
Entre essas
permutações que contêm
e
, em exatamente metade delas
aparece antes de
e na outra metade
aparece antes de
. Isso acontece por simetria: dado qualquer arranjo com
antes de
, se trocarmos a posição de
com a de
obtemos um arranjo distinto com
antes de
, e essa troca é bijetiva entre os dois conjuntos. Logo o número desejado é
Passo 5
(Observação alternativa, mesma conta mas organizada de outro jeito para fixar a ideia.) Podemos também raciocinar escolhendo as posições de
e
nas 4 casas: existem
pares de posições. Para cada par de posições queremos que
venha antes de
, isto é só uma ordem válida entre as duas. As outras duas posições são preenchidas por uma escolha ordenada de 2 dígitos dentre os 4 restantes, isto é
possibilidades. Multiplicando:
que confirma o resultado acima.