Resolva as questões:
(a) Com os dígitos 1,2,3,4,5,6, quantos arranjos desses digitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4?

Passo 1

O enunciado pede: com os dígitos \{1,2,3,4,5,6\}, quantos arranjos (ou seja, sequências de 4 dígitos sem repetição, onde a ordem importa) de 4 a 4 têm o dígito 1 antes do dígito 4?\n
Informações dadas e condições relevantes:
\text{Conjunto de dígitos}=\{1,2,3,4,5,6\}í
\text{Comprimento do arranjo}=4
\text{Sem repetição (cada dígito usado no máximo uma vez)}çãíá
\text{Queremos contar apenas os arranjos em que }1\text{ aparece em posição anterior a }4.çã

Passo 2

Primeiro vamos entender quantos arranjos de 4 dígitos podemos formar no total a partir de 6 dígitos, sem restrição. A fórmula para arranjos (permutações) sem repetição é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n é o total de elementos e k o tamanho do arranjo. Aqui n=6 e k=4, então
P(6,4)=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360.
Isso significa que existem \,360 arranjos possíveis de 4 dígitos escolhidos dentre os 6, se não impormos mais condições.

Passo 3

Agora vamos contar quantos desses arranjos contêm ambos os dígitos 1 e 4. Para isso:
  • Escolhemos os outros 2 dígitos (além de 1 e 4) a partir dos 4 dígitos restantes \{2,3,5,6\}. O número de escolhas é
\binom{4}{2}=6.
  • Para cada escolha de um conjunto de 4 dígitos que inclui 1 e 4, podemos permutar esses 4 dígitos de 4! formas. Portanto o número de arranjos que incluem ambos 1 e 4 é
6\cdot 4! = 6\cdot 24 = 144.
(Explicação didática: \binom{4}{2} conta quais outros dois dígitos vamos usar; depois para cada conjunto fixo de 4 dígitos existem 4!=24 ordens possíveis.)

Passo 4

Entre essas 144 permutações que contêm 1 e 4, em exatamente metade delas 1 aparece antes de 4 e na outra metade 4 aparece antes de 1. Isso acontece por simetria: dado qualquer arranjo com 1 antes de 4, se trocarmos a posição de 1 com a de 4 obtemos um arranjo distinto com 4 antes de 1, e essa troca é bijetiva entre os dois conjuntos. Logo o número desejado é
\frac{144}{2}=72.

Passo 5

(Observação alternativa, mesma conta mas organizada de outro jeito para fixar a ideia.) Podemos também raciocinar escolhendo as posições de 1 e 4 nas 4 casas: existem \binom{4}{2}=6 pares de posições. Para cada par de posições queremos que 1 venha antes de 4, isto é só uma ordem válida entre as duas. As outras duas posições são preenchidas por uma escolha ordenada de 2 dígitos dentre os 4 restantes, isto é P(4,2)=4\cdot3=12 possibilidades. Multiplicando:
6\cdot 1 \cdot 12 = 72,
que confirma o resultado acima.

Resposta

\,72

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