(4) ( 1.0 ponto) Verifique se w=z^{2} aplica a hipérbole \left\{z=(x, y): x^{2}-y^{2}=1\right\} na reta vertical \{w=(u, v): u=1\} e se transforma a hipérbole \{z=(x, y): 2 x y=1\} na reta horizontal \{w=(u, v): v=1\}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a aplicação
w = z^2
quando escrita em coordenadas reais leva a hipérbole
\{(x,y)\mid x^2 - y^2 = 1\}
na reta vertical \{(u,v)\mid u=1\}
e a hipérbole
\{(x,y)\mid 2xy = 1\}
na reta horizontal \{(u,v)\mid v=1\}.
O conteúdo usado será a expressão de w em termos de x e y.

Passo 2

Escrevendo
z = x + i y
temos
w = z^2 = (x + i y)^2 = x^2 - y^2 + i\,2xy.
Assim os componentes reais e imaginários de w são
u = x^2 - y^2, \quad v = 2xy.

Passo 3

Na hipérbole \{(x,y)\mid x^2 - y^2 = 1\} vale
u = x^2 - y^2 = 1,
não importando o valor de v. Logo
w\bigl(\{x^2 - y^2 = 1\}\bigr) = \{(u,v)\mid u=1,\;v\in\mathbb{R}\},
ou seja, exatamente a reta vertical u=1.

Passo 4

Na outra hipérbole \{(x,y)\mid 2xy = 1\} vale
v = 2xy = 1,
independente de u. Portanto
w\bigl(\{2xy = 1\}\bigr) = \{(u,v)\mid v=1,\;u\in\mathbb{R}\},
que é a reta horizontal v=1.

Resposta

Sim. A aplicação w=z^2 envia \{x^2-y^2=1\} na reta vertical \{u=1\} e \{2xy=1\} na reta horizontal \{v=1\}.

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