(2.0 pontos) Considere a função
f(z)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{(\overline{z-1})^{2}}{z-1} & , \text { quando } z \neq 1 \\\\ 0 & , \text { quando } z=1 \end{array}\right.
Obtenha que f^{\prime}(1) não existe. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\bigl(\overline{z-1}\bigr)^{2}}{z-1},&z\neq1,\\\\ 0,&z=1, \end{cases}
e pede para mostrar que f'(1) não existe. Vamos usar a definição de derivada no ponto z=1:
f'(1)=\lim_{z\to1}\frac{f(z)-f(1)}{z-1} =\lim_{z\to1}\frac{f(z)}{z-1}.

Passo 2

Para z\neq1 temos
\frac{f(z)}{z-1} =\frac{1}{z-1}\,\frac{\bigl(\overline{z-1}\bigr)^{2}}{z-1} =\frac{\bigl(\overline{z-1}\bigr)^{2}}{(z-1)^{2}} =\Bigl(\frac{\overline{z-1}}{\,z-1\,}\Bigr)^{2}.
Logo
f'(1)=\lim_{z\to1}\Bigl(\frac{\overline{z-1}}{\,z-1\,}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Escrevendo z-1=r\,e^{i\theta} com r>0 e \theta fixo, temos
\overline{z-1}=r\,e^{-i\theta},
então
\frac{\overline{z-1}}{\,z-1\,} =\frac{r\,e^{-i\theta}}{r\,e^{i\theta}} =e^{-2i\theta} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\overline{z-1}}{\,z-1\,}\Bigr)^{2} =e^{-4i\theta}.

Passo 4

Esse limite depende do ângulo \theta de aproximação:
  • Se \theta=0 (aproximação pelo eixo real), então e^{-4i\cdot0}=1.
  • Se \theta=\tfrac{\pi}{4} (reta fazendo 45^\circ com o eixo real), então e^{-4i\frac{\pi}{4}} =e^{-i\pi} =-1.
Como os resultados são diferentes, o limite não existe.

Resposta

f'(1) não existe.

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