3- (2,0 pontos) Use séries de Maclaurin para resolver a integral \int_{0}^{1 / 2} \operatorname{sen} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1/2}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx
usando séries de Maclaurin. O conteúdo principal é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função \operatorname{sen} z em torno de z=0, e depois integrar termo a termo essa série substituindo z=x^{2}.

Passo 2

A série de Maclaurin de \operatorname{sen} z é
\operatorname{sen} z \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Substituindo z=x^{2} na série, obtemos
\operatorname{sen}(x^{2}) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Como a série converge uniformemente em [0,1/2], podemos integrar termo a termo:
\int_{0}^{1/2}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx =\int_{0}^{1/2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{1}{(2n+1)!}\int_{0}^{1/2}x^{4n+2}dx.
Cada integral \displaystyle\int_{0}^{1/2}x^{4n+2}dx é
\int_{0}^{1/2}x^{4n+2}dx =\left[\frac{x^{4n+3}}{4n+3}\right]_{0}^{1/2} =\frac{(1/2)^{4n+3}}{4n+3}.

Passo 5

Substituindo de volta, a solução em série fica
\int_{0}^{1/2}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(1/2)^{4n+3}}{(2n+1)!\,(4n+3)}.
Para ter uma ideia do valor numérico, podemos somar os primeiros termos:
n=0:\; \frac{(1/2)^{3}}{1!\,\cdot3}=\frac{1}{24}\approx0,041667, \quad n=1:\;-\,\frac{(1/2)^{7}}{3!\,\cdot7}=-\frac{1}{5376}\approx-0,000186,
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\int_{0}^{1/2}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx\approx0,04148.

Resposta

\int_{0}^{1/2}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(1/2)^{4n+3}}{(2n+1)!\,(4n+3)} \approx0,04148.

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